2022-新高考I卷-18 解-解三角形

本题导读

本题考查三角恒等变换。核心在于变量统一法、正弦定理转化的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2022年新高考I卷） 记 $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，已知 $\frac{\cos A}{1+\sin A}=\frac{\sin 2B}{1+\cos 2B}$。

（1）若 $C=\frac{2\pi }{3}$，求 $B$； （2）求 $\frac{a^2+b^2}{c^2}$ 的最小值。

🔍【思路分析】

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1. 第一问（求角 $B$）：

• 化简等式：右边利用二倍角公式 $1+\cos 2B=2{\cos }^{2}B$ 和 $\sin 2B=2\sin B\cos B$ 化简为 $\tan B$。
• 建立联系：利用交叉相乘或诱导公式建立 $A$ 与 $B$ 的逻辑关系。由 $\cos (A+B)=\sin B$ 结合三角形内角和推出 $B$ 与 $C$ 的关系。

2. 第二问（求最小值）：

• 边角转化：利用正弦定理将 $\frac{a^2+b^2}{c^2}$ 转化为 $\frac{{\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B}{{\sin }^{2}C}$。
• 统一变量：利用第一问结论 $B=C-\frac{\pi }{2}$ 和 $A=\frac{3\pi }{2}-2C$，将所有角均用 $C$（或其函数）表示。
• 构造函数：设 $t={\sin }^{2}C$ 或 $t={\cos }^{2}B$，建立关于 $t$ 的代数式。
• 求最值：利用基本不等式确定最小值，并校验取等条件是否在定义域内。

✅【答案】

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(1) $A=\frac{\pi }{2}-2B$，$B\in \left(0,\frac{\pi }{4}\right)$

(2) 最小值 $4\sqrt{2}-5$

✍【详细解析】

Abstract

1. 简化已知条件式： 利用二倍角公式：$\frac{\sin 2B}{1+\cos 2B}=\frac{2\sin B\cos B}{2{\cos }^{2}B}=\tan B$． 故原式化为 $\frac{\cos A}{1+\sin A}=\tan B$．

2. 建立 A 与 B 的关系（解法一：交叉相乘）： $\frac{\cos A}{1+\sin A}=\frac{\sin B}{\cos B}\Rightarrow \cos A\cos B=\sin B+\sin A\sin B$． $\cos A\cos B-\sin A\sin B=\sin B\Rightarrow \cos (A+B)=\sin B$． 由于 $A+B=\pi -C$，则 $\cos (\pi -C)=\sin B\Rightarrow -\cos C=\sin B$．

3. 代入 $C=\frac{2\pi }{3}$ 求解： $\sin B=-\cos \frac{2\pi }{3}=-(-\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$． 因为 $C=\frac{2\pi }{3}$，所以 $B\in (0,\frac{\pi }{3})$． 解得 $B=\frac{\pi }{6}$．

【解法二】(半角公式)：由诱导公式及二倍角公式可得

$\frac{\cos A}{1+\sin A}=\frac{\sin (\frac{\pi }{2}-A)}{1+\cos (\frac{\pi }{2}-A)}=\frac{2\sin (\frac{\pi }{4}-\frac{A}{2})\cos (\frac{\pi }{4}-\frac{A}{2})}{2{\cos }^2(\frac{\pi }{4}-\frac{A}{2})}=\tan (\frac{\pi }{4}-\frac{A}{2})$， 由二倍角公式得$\frac{\sin 2B}{1+\cos 2B}=\frac{2\sin B\cos B}{2{\cos }^{2}B}=\tan B$，∵$\frac{\cos A}{1+\sin A}=\frac{\sin 2B}{1+\cos 2B}$，∴$tan(\frac{\pi }{4}-\frac{A}{2})=tanB$， 又$\frac{\pi }{4}-\frac{A}{2}\in (-\frac{\pi }{12},\frac{\pi }{4})，B\in (0,\pi )，$∴$\frac{\pi }{4}-\frac{A}{2}=B$，即$A=\frac{\pi }{2}-2B$，从而$C=\frac{\pi }{2}+B$，又$C=\frac{2\pi }{3}$，∴ $\frac{\pi }{2}+B=\frac{2\pi }{3}$，解得$B=\frac{\pi }{6}$.

（2）求 $\frac{a^2+b^2}{c^2}$ 的最小值

2. 建立 A, B, C 的函数关系： 由 (1) 知 $\sin B=-\cos C$，由于 $B\in (0,\pi )$，则 $\cos C<0$，说明 $C\in (\frac{\pi }{2},\pi )$． 进一步可推得 $B=C-\frac{\pi }{2}$，且 $A=\pi -B-C=\pi -(C-\frac{\pi }{2})-C=\frac{3\pi }{2}-2C$． 则 $\sin A=\sin (\frac{3\pi }{2}-2C)=-\cos 2C=2{\sin }^{2}C-1$．

3. 构造关于 ${\sin }^{2}C$ 的代数式： 令 $t={\sin }^{2}C$，由于 $C\in (\frac{\pi }{2},\pi )$ 且 $A>0$，需满足 $\frac{\pi }{2}<C<\frac{3\pi }{4}$，则 $t\in (\frac{1}{2},1)$． $\frac{a^2+b^2}{c^2}=\frac{(2t-1{)}^2+{\cos }^{2}C}{t}=\frac{4t^2-4t+1+1-t}{t}=\frac{4t^2-5t+2}{t}=4t+\frac{2}{t}-5$．

4. 利用基本不等式求最小值： $4t+\frac{2}{t}-5⩾2\sqrt{4t\cdot \frac{2}{t}}-5=4\sqrt{2}-5$． 当且仅当 $4t=\frac{2}{t}\Rightarrow t^2=\frac{1}{2}\Rightarrow t=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时取等号． 由于 $t={\sin }^{2}C=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 在定义域 $(\frac{1}{2},1)$ 内，故最小值成立． 结论：最小值为 $4\sqrt{2}-5$．

【解法二】(统一为B)：由(1)知$A=\frac{\pi }{2}-2B\in (0,\pi )，B\in (0,\pi )，C=+B\in (0,\pi )$，

解得，$B\in (0,\frac{\pi }{4})$，从而$cosB\in (\frac{\sqrt{2}}{2},1),$

由正弦定理得$\frac{a^2+b^2}{c^2}=\frac{{\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B}{{\sin }^{2}C}=\frac{{\cos }^{2}2B+{\sin }^{2}B}{{\cos }^{2}B}$=$\frac{{(2{\cos }^{2}B-1)}^2+1-{\cos }^{2}B}{{\cos }^{2}B}=4{\cos }^{2}B+\frac{2}{{\cos }^{2}B}-5\ge 4\sqrt{2}-5$,

当且仅当$4{\cos }^{2}B$=$\frac{2}{{\cos }^{2}B}$，${\cos }^{2}B$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号。 故$\frac{a^2+b^2}{c^2}$的最小值为4$\sqrt{2}-5。$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 恒等变换的敏感度：看到 $1+\cos 2\theta$ 形式应立即联想降幂公式的逆用（倍角公式）；看到 $\frac{\cos A}{1+\sin A}$ 可联想切半角公式 $\tan (\frac{\pi }{4}-\frac{A}{2})$。
2. 变量统一的技巧：解三角形的最值问题，关键是将多元问题降元。本题通过 $B=C-\frac{\pi }{2}$ 成功将 $A,B$ 全部转化为 $C$ 的函数。
3. 定义域的完整性：在求最值时，必须通过 $A,B,C\in (0,\pi )$ 以及 $A+B+C=\pi$ 严格限定自变量 $t$ 的范围，否则可能导致取等条件失效的逻辑错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：第二问也可以统一为变量 ${\cos }^{2}B$。由 $\sin B=-\cos C$ 知 ${\cos }^{2}C={\sin }^{2}B$，则 ${\sin }^{2}C=1-{\sin }^{2}B={\cos }^{2}B$。令 $m={\cos }^{2}B$，计算过程会更加简洁。
• 变式思考：若本题要求 $\frac{a+b}{c}$ 的取值范围，应该如何处理？（提示：转化为 $\frac{\sin A+\sin B}{\sin C}$ 后继续统一变量）。
• 名师寄语：解三角形大题是高考的“粮仓”。第一问通常考公式熟练度，第二问考代数转化功底。记住：边角转化后，函数思想和不等式工具是你的两把利剑。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷理-17
• 2002-北京卷理-08 单-三角恒等变换
• 2005-湖南卷理-16 解-两角和与差的正弦公式