2022-浙江卷-04 单-充要条件

本题导读

本题考查充分条件与必要条件的判定，以及同角三角函数的基本关系式。

📌【题干】

Question

（2022年浙江卷） 设 $x\in \mathbf{R}$，则“$\sin x=1$”是“$\cos x=0$”的()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

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判断“$p$ 是 $q$ 的什么条件”，实质上是判断命题 $p\Rightarrow q$ 与 $q\Rightarrow p$ 的真假。

本题中，条件 $p$ 为“$\sin x=1$”，结论 $q$ 为“$\cos x=0$”。

利用同角三角函数的基本关系式 ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$，分别验证充分性（正推）和必要性（反推）是否成立即可。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

因为对任意 $x\in \mathbf{R}$，都有同角三角函数基本关系：${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$。

① 验证充分性（$p\Rightarrow q$）：

若 $\sin x=1$，代入平方关系式得 $1^2+{\cos }^{2}x=1$，

解得 ${\cos }^{2}x=0$，即 $\cos x=0$。

所以，正向推导成立，即充分性成立。

② 验证必要性（$q\Rightarrow p$）：

若 $\cos x=0$，代入平方关系式得 ${\sin }^{2}x+0^2=1$，

解得 $\sin x=1$ 或 $\sin x=-1$。

也就是说，当 $\cos x=0$ 时，$\sin x$ 未必等于 $1$（例如取 $x=\frac{3\pi }{2}$，此时 $\cos x=0$，但 $\sin x=-1\ne 1$）。

所以，反向推导不成立，即必要性不成立。

综上所述，“$\sin x=1$”是“$\cos x=0$”的充分不必要条件。

故选：A．

本题考查了同角三角函数间的基本关系以及充要条件的判定。题目设计非常基础，逻辑链条短，没有设置复杂的计算陷阱，是考查基本概念的“送分题”。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 充要条件的判定逻辑：

   • 若 $p\Rightarrow q$ 且 $q\nRightarrow p$，则 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件。

   • 若 $p\nRightarrow q$ 且 $q\Rightarrow p$，则 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件。

   • 推翻一个命题最快的方法是**“举反例法”**（如本题解析中举出当 $\sin x=-1$ 时的情况）。

2. 同角三角函数的平方关系：公式 ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ 是三角函数中最核心的恒等式。在已知正弦求余弦（或已知余弦求正弦）时，务必注意开平方后产生的“$\pm$”两解，切忌想当然地只保留正号。此处常常需要结合角 $x$ 所在的象限来进行舍位，或者像本题一样利用两解的存在来否定必要性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1986-全国理-06 单-充分必要条件的传递
• 1987-全国卷理-04 单-充分条件与必要条件