2022-甲卷文-20 解-导数综合

本题导读

本题考查导数的几何意义。核心在于待定系数与系数匹配法、构造函数求值域法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2022年甲卷文） 已知函数 $f(x)=x^3-x$, $g(x)=x^2+a$, 曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_1,f(x_1))$ 处的切线也是曲线 $y=g(x)$ 的切线.

(1) 若 $x_1=-1$, 求 $a$;

(2) 求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. (1) 小题先求出 $x_1=-1$ 时 $y=f(x)$ 的切线方程，再根据该切线与抛物线 $y=g(x)$ 相切（$\Delta =0$ 或导数切点对应）求出参数 $a$。
2. (2) 小题写出一般情况下的切线方程，由其与 $y=g(x)$ 相切建构 $a$ 关于 $x_1$ 的函数 $a=h(x_1)$，利用导数求出 $h(x_1)$ 的最小值，即得 $a$ 的取值范围。

✅【答案】

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$a$ 的取值范围为 $[-1,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

解： (1) 当 $x_1=-1$ 时，$f(-1)=(-1{)}^3-(-1)=0$。 $f^{\prime }(x)=3x^2-1$，故切线斜率 $k=f^{\prime }(-1)=3(-1{)}^2-1=2$。 曲线 $y=f(x)$ 在点 $(-1,0)$ 处的切线方程为： $y-0=2(x+1)⟹y=2x+2$

设该切线与曲线 $y=g(x)=x^2+a$ 相切于点 $(x_2,g(x_2))$。 因为 $g^{\prime }(x)=2x$，所以 $2x_2=2⟹x_2=1$。 切点为 $(1,1+a)$，代入切线方程得： $1+a=2(1)+2⟹a=3$

(2) 曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_1,x_1^3-x_1)$ 处的切线方程为： $y-(x_1^3-x_1)=(3x_1^2-1)(x-x_1)$ 化简得切线 $L$ 方程： $y=(3x_1^2-1)x-2x_1^3$

设切线 $L$ 与曲线 $y=g(x)$ 相切于点 $(x_2,x_2^2+a)$。 由 $g^{\prime }(x_2)=2x_2=3x_1^2-1$，解得 $x_2=\frac{3x_1^2-1}{2}$。

切线 $L$ 在 $y=g(x)$ 上的切线方程亦可表示为： $y=2x_{2}x-x_2^2+a$

比较两条切线方程的截距项可得： $-2x_1^3=-x_2^2+a⟹a=x_2^2-2x_1^3$

将 $x_2=\frac{3x_1^2-1}{2}$ 代入： $a={\left(\frac{3x_1^2-1}{2}\right)}^2-2x_1^3=\frac{9x_1^4-6x_1^2+1}{4}-2x_1^3=\frac{9}{4}{x}_1^4-2x_1^3-\frac{3}{2}{x}_1^2+\frac{1}{4}$

记 $h(x)=\frac{9}{4}{x}^4-2x^3-\frac{3}{2}{x}^2+\frac{1}{4}(x\in \mathbf{R})$。 求导得： $h^{\prime }(x)=9x^3-6x^2-3x=3x(3x^2-2x-1)=3x(3x+1)(x-1)$

令 $h^{\prime }(x)=0$，得驻点 $x=-\frac{1}{3},0,1$。 列表分析 $h(x)$ 的单调性与极值：

• 当 $x\in \left(-\infty ,-\frac{1}{3}\right)$ 时，$h^{\prime }(x)<0$，$h(x)$ 单调递减；
• 当 $x\in \left(-\frac{1}{3},0\right)$ 时，$h^{\prime }(x)>0$，$h(x)$ 单调递增；
• 当 $x\in (0,1)$ 时，$h^{\prime }(x)<0$，$h(x)$ 单调递减；
• 当 $x\in (1,+\infty )$ 时，$h^{\prime }(x)>0$，$h(x)$ 单调递增。

计算各极小值： $h\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{9}{4}\left(\frac{1}{81}\right)-2\left(-\frac{1}{27}\right)-\frac{3}{2}\left(\frac{1}{9}\right)+\frac{1}{4}=\frac{5}{27}$ $h(1)=\frac{9}{4}-2-\frac{3}{2}+\frac{1}{4}=-1$

比较可知全集上的最小值 $h(x{)}_{\min }=h(1)=-1$。 故 $a$ 的取值范围为 $[-1,+\infty )$。

🎯 【考点归纳与避坑指南】

1. 核心考点：公切线的转化（两曲线切线为同一条直线），构造函数求值域。
2. 核心方法：利用待定系数比较法建立参数 $a$ 与切点横坐标 $x_1$ 的函数关系 $a=h(x_1)$。
3. 避坑指南：注意 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 的切点一般不重合，切忌设同一切点；极小值有多个时须比较最小值而非直接取第一个极小值。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：待补

2. 核心方法：待补

3. 避坑指南：待补

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2008-新课标卷文-21 解-导数切线定值
• 2009-福建卷文-15 填-导数切线存在
• 2021-天津卷-20 解-导数综合