2022-甲卷理-06 单-导数极值

本题导读

本题考查利用导数研究函数的极值与最值，以及导数的四则运算。

📌【题干】

Question

（2022年甲卷理） 当 $x=1$ 时，函数 $f(x)=a\ln x+\frac{b}{x}$ 取得最大值 $-2$，则 $f^{\prime }(2)=($\quad\quad$)$

A. $-1$　　　　　　　B. $-\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

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1. 利用最值点坐标求 $b$：函数在 $x=1$ 时取得最大值 $-2$，说明函数图象经过点 $(1,-2)$，代入原函数解析式可直接求出参数 $b$。

2. 利用极值点导数性质求 $a$：因为函数在定义域的内点 $x=1$ 处取得最大值（属于极值点），且函数可导，根据费马引理，必有 $f^{\prime }(1)=0$。求导后代入即可解出 $a$。

3. 验证单调性并求值：将求得的 $a,b$ 代回导函数，验证 $x=1$ 是否确为最大值点。验证通过后，将 $x=2$ 代入导函数计算最终结果。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

1. 利用函数值条件求参数 $b$：

已知函数 $f(x)=a\ln x+\frac{b}{x}$ 的定义域为 $(0,+\infty )$。

当 $x=1$ 时，函数取得最大值 $-2$，即 $f(1)=-2$。

将 $x=1$ 代入原函数：

$f(1)=a\ln 1+\frac{b}{1}=0+b=b$

故 $b=-2$。

此时原函数解析式为：$f(x)=a\ln x-\frac{2}{x}$。

2. 利用导数零点条件求参数 $a$：

对 $f(x)$ 求导：

$f^{\prime }(x)=\frac{a}{x}-2\left(-\frac{1}{x^2}\right)=\frac{a}{x}+\frac{2}{x^2}=\frac{ax+2}{x^2}$

因为 $x=1$ 是函数在定义域内部的最值点，故它必然也是极值点。

又因为函数在 $x=1$ 处可导，所以必有 $f^{\prime }(1)=0$。

将 $x=1$ 代入导函数：

$f^{\prime }(1)=\frac{a(1)+2}{1^2}=a+2=0$

解得 $a=-2$。

3. 验证最值点性质：

将 $a=-2$ 代回导函数，得：

$f^{\prime }(x)=\frac{-2x+2}{x^2}$

判定其单调性：

• 当 $0<x<1$ 时，$-2x+2>0$，$f^{\prime }(x)>0$，函数单调递增；

• 当 $x>1$ 时，$-2x+2<0$，$f^{\prime }(x)<0$，函数单调递减。

  故函数在 $x=1$ 处取得极大值，也是整个定义域上的最大值，符合题意。

4. 计算目标导数值 $f^{\prime }(2)$：

将 $x=2$ 代入已求得的导函数 $f^{\prime }(x)=\frac{-2x+2}{x^2}$：

$f^{\prime }(2)=\frac{-2(2)+2}{2^2}=\frac{-4+2}{4}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}$

5. 结论：

对应选项 B 正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：

  1. 分离条件：“$x=x_0$ 处取得最值 $y_0$”包含了两层数学信息：一是 $f(x_0)=y_0$（提供函数值方程）；二是 $f^{\prime }(x_0)=0$（提供导数零点方程）。利用这两个等式足以求出两个未知参数。

  2. 导数公式熟练度：牢记 $(\frac{1}{x}{)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$，在求导时可避免符号错误。

• 避坑指南：

  • 逻辑的完备性（二次检验）：由 $f^{\prime }(x_0)=0$ 推导出的 $x_0$ 只是极值点的“疑似点”。严格的逻辑要求在算出参数后，必须代回原式检验单调性（即前文的第 3 步），确认其真的是最大值点而非最小值点或非极值点。虽然在单选题中可以直接跳过检验以节省时间，但在解答题中缺少检验环节必扣分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2004-天津理-20 解-导数的几何意义
• 2004-湖北理-09 单-利用导数研究函数的极值
• 2005-江苏卷-14 填-导数的几何意义