2022-甲卷理-12 单-导数比较大小

本题导读

本题考查利用导数研究单调性，以及不等式放缩与大小比较。

📌【题干】

Question

（2022年甲卷理） 已知 $a=\frac{31}{32}$，$b=\cos \frac{1}{4}$，$c=4\sin \frac{1}{4}$，则()

A. $c>b>a$　　B. $b>a>c$　　C. $a>b>c$　　D. $a>c>b$

🔍【思路分析】

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1. 比较 $a$ 与 $b$：观察 $a=\frac{31}{32}=1-\frac{1}{32}=1-\frac{1}{2}(\frac{1}{4}{)}^2$。联想到经典的余弦函数泰勒展开或不等式 $\cos x>1-\frac{1}{2}{x}^2(x>0)$。通过构造辅助函数 $f(x)=\cos x+\frac{1}{2}{x}^2-1$ 并利用导数判定其单调性，证明 $f(\frac{1}{4})>0$，从而得出 $b>a$。

2. 比较 $b$ 与 $c$：将 $c=4\sin \frac{1}{4}$ 变形为 $\frac{\sin \frac{1}{4}}{\frac{1}{4}}$，这很容易让人联想到切线不等式 $\tan x>x(0<x<\frac{\pi }{2})$。将 $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ 代入，整理即可得到 $\sin x$ 与 $x\cos x$ 的关系，进而证明 $c>b$。

3. 综合结论：合并上述两个不等关系得出最终排序。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

1. 比较 $a$ 与 $b$ 的大小：

构造辅助函数 $f(x)=\cos x+\frac{1}{2}{x}^2-1$，其中 $x\in (0,1)$．

对 $f(x)$ 求导得：

$f^{\prime }(x)=-\sin x+x=x-\sin x$

再次构造函数 $g(x)=x-\sin x$，其中 $x\in (0,1)$．

对 $g(x)$ 求导得：

$g^{\prime }(x)=1-\cos x$

因为 $x\in (0,1)$，所以 $\cos x<1$，故 $g^{\prime }(x)>0$ 恒成立．

因此，$g(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增．

从而 $g(x)>g(0)=0-\sin 0=0$．

即 $f^{\prime }(x)>0$ 在 $(0,1)$ 上恒成立，函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增．

取 $x=\frac{1}{4}$，则有 $f(\frac{1}{4})>f(0)$：

f\left(\frac{1}{4}\right) = \cos \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\right)^2 - 1 > \cos 0 + 0 - 1 = 0$$$$\cos \frac{1}{4} > 1 - \frac{1}{32} = \frac{31}{32}

故 $b>a$．

2. 比较 $b$ 与 $c$ 的大小：

利用经典的三角函数线或导数可证，当 $x\in (0,\frac{\pi }{2})$ 时，恒有 $\tan x>x$．

取 $x=\frac{1}{4}$（显然 $\frac{1}{4}\in (0,\frac{\pi }{2})$），则：

$\tan \frac{1}{4}>\frac{1}{4}$

将 $\tan \frac{1}{4}$ 展开为 $\frac{\sin \frac{1}{4}}{\cos \frac{1}{4}}$：

$\frac{\sin \frac{1}{4}}{\cos \frac{1}{4}}>\frac{1}{4}$

因为 $\cos \frac{1}{4}>0$，不等式两边同乘 $4\cos \frac{1}{4}$：

$4\sin \frac{1}{4}>\cos \frac{1}{4}$

故 $c>b$．

3. 综合得出结论：

综上所述，$c>b>a$．

结论：

对应选项 A 正确．

【解法二】如图，构造半径为4，弧长为1的扇形$AOB$

，在扇形$AOB$中,$\angle AOB=\frac{1}{4}$

则$|AB|<1$

$\therefore \cos \frac{1}{4}=\frac{|OA{|}^2+|OB{|}^2-|AB{|}^2}{2|OA|\cdot |OB|}>\frac{4^2+4^2-1^2}{2\times 4\times 4}=\frac{31}{32}$

故$b>a$，利用三角函数线可得$x\in (0,\frac{\pi }{2})$时，

$\tan x>x$，$\therefore \tan \frac{1}{4}>\frac{1}{4}$，

即$\frac{\sin \frac{1}{4}}{\cos \frac{1}{4}}>\frac{1}{4}$，

$\therefore 4\sin \frac{1}{4}>\cos \frac{1}{4}$，故$c>b$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：

  1. 泰勒展开的同构识别：看到 $\frac{31}{32}$ 应具有数字敏感度，将其拆解为 $1-\frac{1}{32}=1-\frac{1}{2}(\frac{1}{4}{)}^2$，立刻就能与 $\cos x$ 建立联系。

  2. 经典三角不等式：在 $(0,\frac{\pi }{2})$ 区间内，牢记不等式链 $\sin x<x<\tan x$。本题 $c>b$ 就是直接利用了 $x<\tan x$ 的变形。

• 规律总结：导数比较大小的压轴选择题，往往围绕着 $e^x$, $\ln (x+1)$, $\sin x$, $\cos x$ 在 $x=0$ 附近的泰勒多项式展开。

  • $\sin x\approx x-\frac{x^3}{6}$

  • $\cos x\approx 1-\frac{x^2}{2}$

  • $e^x\approx 1+x+\frac{x^2}{2}$

  • $\ln (1+x)\approx x-\frac{x^2}{2}$

• 避坑指南：在构造 $f(x)=\cos x+\frac{1}{2}{x}^2-1$ 时，如果直接判定看不出正负，务必像解析中那样，坚持进行二次求导（即研究 $x-\sin x$ 的单调性），严密的逻辑推导比凭直觉更安全。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2002-北京卷理-07 单-复数的模与几何意义
• 2002-大纲理-04 单-三角不等式
• 2002-新课标理-05 单-三角不等式