2022-甲卷理-14 填-双曲线渐近线

本题导读

本题考查渐近线，以及位置关系判定。

📌【题干】

Question

（2022年甲卷理） 若双曲线 $y^2-\frac{x^2}{m^2}=1(m>0)$ 的渐近线与圆 $x^2+y^2-4y+3=0$ 相切，则 $m=$ $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. 求渐近线方程：根据双曲线的标准方程，令等号右边为 $0$ 即可快速求出渐近线方程，将其整理为一般式。

2. 获取圆的基本量：将圆的一般方程进行配方，转化为标准方程，从而确定圆心坐标和半径大小。

3. 利用相切条件建立方程：直线与圆相切的充要条件是“圆心到直线的距离等于圆的半径（$d=r$）”。利用点到直线的距离公式列出关于参数 $m$ 的方程。

4. 解方程：解出 $m^2$ 的值，并结合已知条件 $m>0$ 舍去负根，得出最终结果。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

1. 求解双曲线的渐近线方程：

已知双曲线方程为 $y^2-\frac{x^2}{m^2}=1$。

令等号右边为 $0$，得 $y^2-\frac{x^2}{m^2}=0$，即 $x^2=m^2{y}^2$。

因为 $m>0$，两边开方得 $x=\pm my$。

故渐近线的一般式方程为：$x\pm my=0$。

2. 提取圆的几何特征：

已知圆的方程为 $x^2+y^2-4y+3=0$。

进行配方处理：

x^2 + (y^2 - 4y + 4) - 4 + 3 = 0$$$$x^2 + (y - 2)^2 = 1

由此可知，圆心为 $C(0,2)$，半径 $r=1$。

3. 利用直线与圆相切的条件求解参数：

因为双曲线的渐近线与圆相切，所以圆心 $C(0,2)$ 到渐近线 $x\pm my=0$ 的距离 $d$ 等于半径 $r$。

根据点到直线的距离公式：

$d=\frac{|0\pm m(2)|}{\sqrt{1^2+(\pm m{)}^2}}=\frac{|2m|}{\sqrt{1+m^2}}$

由于 $m>0$，所以 $|2m|=2m$。令 $d=r=1$，得：

$\frac{2m}{\sqrt{1+m^2}}=1$

4. 解代数方程：

两边同时平方，消除根号和绝对值：

$\frac{4m^2}{1+m^2}=1$

去分母得：

4m^2 = 1 + m^2$$$$3m^2 = 1 \implies m^2 = \frac{1}{3}

因为 $m>0$，开方得：

$m=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

结论：

答案填入 $\frac{\sqrt{3}}{3}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：

  1. 渐近线快速求解：对于标准方程形式的双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 或 $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$，直接令常数项 $1$ 为 $0$ 即可得到其渐近线方程，无需死记硬背公式。

  2. 相切判定：在处理直线与圆相切的问题时，几何法（$d=r$） 永远优先于代数法（联立方程令 $\Delta =0$），能大幅减少计算量。

• 避坑指南：

  • 双曲线轴向陷阱：本题双曲线的焦点在 $y$ 轴上！如果凭感觉直接写成 $y=\pm mx$，就会导致截距与距离计算完全错误。本解析中直接采用 $x\pm my=0$ 的形式，有效规避了这种惯性思维失误。

  • 符号处理：解方程去绝对值时，由于明确了 $m>0$，可以直接写成 $2m$，不用带 $\pm$，使逻辑更加清爽。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷文-05 单-抛物线焦点距离
• 2013-江苏卷-03 填-渐近线
• 2013-重庆卷文-04 单-圆最短距离