2023-上海卷-11 填-导数极值最值

本题导读

本题考查利用导数研究函数的极值与最值，以及同角三角函数的基本关系。

📌【题干】

Question

（2023年上海卷）某公园欲修建一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡起点在水平面上，斜坡顶点距水平地面的高度为 4 米，坡面与水平面所成的夹角为 $\theta$．行人沿着斜坡每向上走 $1\text{m}$ 消耗的体能为 $(1.025-\cos \theta )$，欲使行人从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最小，则 $\theta =$ ________．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立代数模型：在直角三角形中，已知对边（高度为 4），倾斜角为 $\theta$，可通过正弦定义求出斜边（斜坡长度）长 $l=\frac{4}{\sin \theta }$。
2. 构建目标函数：根据关系式 $\text{总体能}=\text{斜坡长度}\times \text{每米消耗的体能}$，列出关于 $\theta$ 的函数 $y=\frac{4(1.025-\cos \theta )}{\sin \theta }$。根据物理背景， $\theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$。
3. 求导锁定最值：利用商的求导法则对目标函数求导，令导数 $y^{\prime }=0$ 得到驻点。通过分析驻点两侧导数的正负符号确定单调性，证明该点即为全局体能消耗最小的极小值点，最后用反三角函数作答。

✅【答案】

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$\arccos \frac{40}{41}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定斜坡长度与自变量范围 设斜坡长度为 $l$ 米。已知斜坡的铅直高度为 4 米，斜坡面与水平面的夹角为 $\theta$。 由直角三角形的三角函数定义： $\sin \theta =\frac{4}{l}⟹l=\frac{4}{\sin \theta }$ 根据实际修建斜坡的物理背景，倾斜角 $\theta$ 的取值范围为 $\theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$。

第二步：建立总体能消耗的目标函数 由题意，行人每向上走 1 米消耗的体能为 $1.025-\cos \theta$。 设上坡所消耗的总体能为 $y$，可构建关于 $\theta$ 的函数关系式： $y=l\times (1.025-\cos \theta )=\frac{4}{\sin \theta }\cdot (1.025-\cos \theta )$ 将常数项系数 4 乘入分子中（注意 $4\times 1.025=4.1$）： $y=\frac{4.1-4\cos \theta }{\sin \theta }$

第三步：对目标函数求导 应用分式商的求导法则 ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$，对 $y$ 关于自变量 $\theta$ 求导： $y^{\prime }=\frac{(4.1-4\cos \theta {)}^{\prime }\cdot \sin \theta -(4.1-4\cos \theta )\cdot (\sin \theta {)}^{\prime }}{{\sin }^2\theta }$

根据基本初等导数公式 $(4.1-4\cos \theta {)}^{\prime }=4\sin \theta$，且 $(\sin \theta {)}^{\prime }=\cos \theta$，代入分子展开： $y^{\prime }=\frac{(4\sin \theta )\cdot \sin \theta -(4.1-4\cos \theta )\cdot \cos \theta }{{\sin }^2\theta }$ $y^{\prime }=\frac{4{\sin }^2\theta -4.1\cos \theta +4{\cos }^2\theta }{{\sin }^2\theta }$

利用同角三角函数的平方关系 $4{\sin }^2\theta +4{\cos }^2\theta =4({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta )=4$，化简导数分子得： $y^{\prime }=\frac{4-4.1\cos \theta }{{\sin }^2\theta }$

第四步：求解驻点并分析单调区间 令 $y^{\prime }=0$。因为在区间 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 内，分母 ${\sin }^2\theta >0$ 恒成立，因此只需满足分子为 0： $4-4.1\cos \theta =0⟹\cos \theta =\frac{4}{4.1}=\frac{40}{41}$ 在锐角范围内，存在唯一驻点：${\theta }_0=\arccos \frac{40}{41}$。

由于余弦函数 $y=\cos \theta$ 在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 上是单调递减的，故对分子 $4-4.1\cos \theta$ 的正负进行区间判定：

• 当 $0<\theta <\arccos \frac{40}{41}$ 时，$\cos \theta >\frac{40}{41}⟹4.1\cos \theta >4$，则导数 $y^{\prime }<0$，函数 $y$ 单调递减；
• 当 $\arccos \frac{40}{41}<\theta <\frac{\pi }{2}$ 时，$\cos \theta <\frac{40}{41}⟹4.1\cos \theta <4$，则导数 $y^{\prime }>0$，函数 $y$ 单调递增．

第五步：确定最值 综上单调性分析，函数 $y$ 在唯一驻点 $\theta =\arccos \frac{40}{41}$ 处左减右增，取得全局极小值，即为最小值。 此时，行人从底端走到顶端消耗的总体能最小。

故答案为：$\arccos \frac{40}{41}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：利用三角函数建立几何应用问题模型、商的求导公式、超越函数单调区间的判定规律。
2. 核心方法：方程建模法、导数最值优化法。
3. 避坑指南：

• 求导符号差失误：计算 $(4.1-4\cos \theta {)}^{\prime }$ 时，务必牢记 $(\cos \theta {)}^{\prime }=-\sin \theta$。两个负号合并后为正，即 $+4\sin \theta$，切勿因符号错漏导致分子无法运用 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 进行化简。
• 单调性误判：导数符号由分子 $4-4.1\cos \theta$ 决定。由于第一象限内余弦值随角度增大而减小，因此当 $\theta$ 较小时，$\cos \theta$ 较大，反而导致 $4-4.1\cos \theta <0$（导数为负）。在判定增减性时，应高度警惕余弦函数的减函数性质，防止将极小值点错看为极大值点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题作为上海高考填空题的压轴关卡，将现实生活中的“爬坡体能消耗”进行数学抽象，本质上考查了超越分式方程最值的导数通性解法，具有较强的数据处理与建模素养考查意图。
2. 结论推广：这是一类经典的物理最值结构。在形如 $f(\theta )=\frac{A-B\cos \theta }{\sin \theta }(A>B>0)$ 的最优控制模型中： 对函数进行通用求导，其分子项恒表现为 $B({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta )-A\cos \theta =B-A\cos \theta$。 由于分母 ${\sin }^2\theta >0$，函数的唯一最值临界点永远由方程 $B-A\cos \theta =0$ 决定，即 $\cos \theta =\frac{B}{A}$。 在本题中，直接识别系数 $B=4,A=4.1$，代入二级结论直接得出 $\cos \theta =\frac{4}{4.1}=\frac{40}{41}$，从而锁定答案为 $\arccos \frac{40}{41}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1977-北京理-04
• 1991-全国卷理-01
• 1996-全国卷理-07