2023-上海卷-15 单-正弦函数性质

本题导读

本题考查正弦函数的单调区间与最值，以及正弦函数在区间上的符号。

📌【题干】

Question

（2023年上海卷）已知 $a\in \mathbb{R}$，记 $y=\sin x$ 在 $[a,2a]$ 的最小值为 $s_a$，在 $[2a,3a]$ 的最小值为 $t_a$，则下列情况不可能的是（ ）

A. $s_a>0，t_a>0$　B. $s_a<0，t_a<0$　C. $s_a>0，t_a<0$　D. $s_a<0，t_a>0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 区间特征分析：由闭区间 $[a,2a]$ 必须满足下界小于或等于上界可知 $a⩽2a⟹a⩾0$。若 $a=0$，区间退化为单点 $\{0\}$，则 $s_a=t_a=0$，与选项中严格大于或小于 0 的叙述矛盾，故隐含条件为 $a>0$．
2. 特例法破局：作为选择题，可通过寻找特殊值 $a$ 证明 A、B、C 描述的情况可能存在，利用排除法锁定 D。
3. 逻辑推理分析：若 $t_a>0$，意味着 $\sin x$ 在区间 $[2a,3a]$ 上恒为正。由于 $a>0$，此区间必须被完全包含在正弦函数的某个正半周期（如 $(0,\pi )$）内，从而限制了 $a$ 的最大跨度。结合该跨度反推前半段区间 $[a,2a]$ 的位置，可验证 $s_a$ 是否可能为负。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

方法一：特例法（排除法） 由于 $a⩽2a$ 且端点值不为0，可知 $a>0$。区间 $[a,2a]$ 与区间 $[2a,3a]$ 相邻且长度均为 $a$。

• 验证 A 选项：取 $a=\frac{\pi }{6}$，则第一个区间为 $\left[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}\right]$，第二个区间为 $\left[\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2}\right]$。两个区间均包含在 $(0,\pi )$ 内，各处正弦值均大于 0，则最小值 $s_a>0,t_a>0$。故 A 选项成立。
• 验证 C 选项：取 $a=\frac{5\pi }{12}$，则第一个区间为 $\left[\frac{5\pi }{12},\frac{5\pi }{6}\right]$，第二个区间为 $\left[\frac{5\pi }{6},\frac{5\pi }{4}\right]$。在 $\left[\frac{5\pi }{12},\frac{5\pi }{6}\right]$ 上，函数值始终为正，故 $s_a>0$；在 $\left[\frac{5\pi }{6},\frac{5\pi }{4}\right]$ 上，右端点超过 $\pi$ 进入第三象限， $\sin \frac{5\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}<0$，故 $t_a<0$。故 C 选项成立。
• 验证 B 选项：取 $a=\frac{7\pi }{6}$，则第一个区间为 $\left[\frac{7\pi }{6},\frac{7\pi }{3}\right]$，第二个区间为 $\left[\frac{7\pi }{3},\frac{7\pi }{2}\right]$。在 $\left[\frac{7\pi }{6},\frac{7\pi }{3}\right]$ 上，左端点在第三象限，$\sin \frac{7\pi }{6}=-\frac{1}{2}<0$，故 $s_a<0$；在 $\left[\frac{7\pi }{3},\frac{7\pi }{2}\right]$ 上，右端点在 $y$ 轴负半轴，$\sin \frac{7\pi }{2}=-1<0$，故 $t_a<0$。故 B 选项成立。

综上，排除 A、B、C，不可能的情况为 D。

方法二：逻辑推导与代数证明（反证法） 假设存在某个 $a>0$，使得 $s_a<0$且 $t_a>0$ 同时成立。

因为 $t_a>0$，即 $y=\sin x$ 在区间 $[2a,3a]$ 上的最小值为正数，意味着对于所有的 $x\in [2a,3a]$，恒有 $\sin x>0$。 因此，整个区间 $[2a,3a]$ 必须完全包含在正弦函数的某个正半周期内。 即存在非负整数 $k$，使得： $2k\pi <2a<3a<2k\pi +\pi$

由该不等式组可得： $\{\begin{array}{l}3a<2k\pi +\pi \\ 2a>2k\pi ⟹a>k\pi \end{array}$

联立消去 $a$ 可得： $3k\pi <3a<2k\pi +\pi ⟹3k\pi <2k\pi +\pi ⟹k\pi <\pi ⟹k<1$

由于 $k$ 是非负整数，故 $k$ 只能等于 0。 将 $k=0$ 代入原不等式组 $0<2a<3a<\pi$，解得： $0<a<\frac{\pi }{3}$

当 $0<a<\frac{\pi }{3}$ 时，考察第一个区间 $[a,2a]$ 的范围： $0<a<2a<\frac{2\pi }{3}$

此区间完全包含在 $(0,\pi )$ 内。在这个正半周期内，对所有的 $x\in [a,2a]$，恒有 $\sin x>0$，从而其最小值 $s_a>0$。 这与假设条件 $s_a<0$ 产生矛盾。 故“$s_a<0$ 且 $t_a>0$”的情况不可能发生。

故选：D。

📋 【考点归纳与避坑指南】

1. 核心考点：正弦函数各象限的保号性范围、闭区间上连续函数最值端点的变化特征。
2. 核心方法：特殊值排除法、反证法与不等式组夹逼法。
3. 避坑指南：

• 忽视实际定义域限制：在处理相邻区间的函数最值符号问题时，可以将其转化为“区间移动”模型。把长度恒定的线段在正弦曲线上滑动，观察它先后落入波峰和波谷的情况，有助于直观想象。
• 特例选取不当下结论：选取特殊值时，要充分利用三角函数的周期性（$2\pi$）和特殊角（$\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2}$ 等）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：待补

2. 核心方法：待补

3. 避坑指南：待补

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于对正弦函数周期性与波峰波谷分布规律的考查，属于考查符号定性分析的动态区间最值问题。
2. 结论推广：对于任意正弦型函数 $y=\sin \omega x(\omega >0)$，在相邻区间 $[a,2a]$ 和 $[2a,3a]$ 上，若后半区间全正（$t_a>0$），由于靠原点更近的性质，前半区间必然也全正（$s_a>0$），即“后段全正，前段必全正”具有拓扑学上的必然性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-12 单-三角函数对称性与最值
• 2009-安徽卷理-08