2023-北京卷-11 填-对数运算

本题导读

本题考查指数幂的运算，以及对数的性质与运算法则。

📌【题干】

Question

（2023年北京卷）已知函数 $f(x)=4^x+{\log }_{2}x$，则 $f\left(\frac{1}{2}\right)=$ ____________．

🔍【思路分析】

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将 $x=\frac{1}{2}$ 直接代入函数解析式，分别计算指数项 $4^{\frac{1}{2}}$ 和对数项 ${\log }_2\frac{1}{2}$ 的值，最后求和即可。

✅【答案】

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1

✍【详细解析】

Abstract

根据题意，将 $x=\frac{1}{2}$ 代入函数 $f(x)=4^x+{\log }_{2}x$：

1. 计算指数部分：

   $4^{\frac{1}{2}}=\sqrt{4}=2$

2. 计算对数部分：

   ${\log }_2\frac{1}{2}={\log }_2{2}^{-1}=-1\cdot {\log }_{2}2=-1$

3. 求和：

   $f\left(\frac{1}{2}\right)=2+(-1)=1$

故答案为：1。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分数指数幂与算术平方根的等价转换律、真数倒数化为负指数的对数约简律。
2. 核心方法：多项式分步代入化简法。
3. 避坑指南：

• 对数运算符号粗心弄错：在计算 ${\log }_2\frac{1}{2}$ 时，极个别考生可能会受干扰，由于定势思维误算为 $2$ 或 $\frac{1}{2}$。牢记当真数小于 1 且底数大于 1 时，对数值必然为负数。
• 基础概念混淆：避免将分数指数幂 $4^{\frac{1}{2}}$ 错看成乘法运算 $4\times \frac{1}{2}=2$。虽然两者计算数值巧合相同，但数学机理完全不同，必须在审题时保持清醒。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：母题结构直接取材于新教材中《基本初等函数》章节的课后概念练习题。命题立意极其纯粹，旨在通过无干扰、无陷阱的直接代入运算，稳定考生的临场答题情绪，测试底层的基本功。
2. 结论推广： 在高考的函数求值大类中，本题模型可进一步推广为一类通用的底数互为倒数的对数与指数复合求值模型。 若已知函数 $F(x)=(A^2{)}^x+{\log }_{A}x(A>0\text{ 且 }A\ne 1)$，当要求计算自变量为其底数倒数 $x=\frac{1}{A}$ 处的函数值时，其结果恒满足统一的代数消元模型： $F\left(\frac{1}{A}\right)=(A^2{)}^{\frac{1}{A}}+{\log }_A{A}^{-1}=A^{\frac{2}{A}}-1$ 通过这种结构化的视野去认读题目，能够帮助我们在面对更复杂的参数型函数填空题时，自发形成清晰、有条理的模块化解题思路。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-03 单-对数运算
• 2014-陕西卷理-11 填-指数幂运算
• 2008-安徽卷文-13 填-根式对数定义域