2023-新高考I卷-08 单-三角恒等变换

本题导读

本题考查两角和与差的正弦公式，以及二倍角的余弦公式。

📌【题干】

Question

（2023年新高考I卷）已知 $\sin (\alpha -\beta )=\frac{1}{3}$， $\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{6}$，则 $\cos (2\alpha +2\beta )=$ （ ）

A. $\frac{7}{9}$　　　　　　B. $\frac{1}{9}$　　　　　　C. $-\frac{1}{9}$　　　　　　D. $-\frac{7}{9}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用两角差的正弦公式展开 $\sin (\alpha -\beta )$，结合已知条件 $\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{6}$，求出 $\sin \alpha \cos \beta$ 的值。
2. 利用两角和的正弦公式求出 $\sin (\alpha +\beta )$ 的值。
3. 将目标式转化为 $\cos [2(\alpha +\beta )]$，利用余弦的二倍角公式求解。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

方法一：两角和与差的三角函数公式

第一步：求 $\sin \alpha \cos \beta$ 根据两角差的正弦公式展开已知条件： $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{3}$ 将已知项 $\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{6}$ 代入上式： $\sin \alpha \cos \beta -\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$ 解得： $\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$

第二步：求 $\sin (\alpha +\beta )$ 根据两角和的正弦公式： $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$ 将已知项与第一步所得结果代入： $\sin (\alpha +\beta )=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$

第三步：利用二倍角公式求解 将目标式中的角提取公因数，转化为关于 $(\alpha +\beta )$ 的二倍角形式： $\cos (2\alpha +2\beta )=\cos [2(\alpha +\beta )]$ 由于已知 $\sin (\alpha +\beta )$ 的值，选择余弦的二倍角公式 $\cos 2\theta =1-2{\sin }^2\theta$ 进行计算： $\cos [2(\alpha +\beta )]=1-2{\sin }^2(\alpha +\beta )$ 代入 $\sin (\alpha +\beta )=\frac{2}{3}$： $\cos (2\alpha +2\beta )=1-2\times {\left(\frac{2}{3}\right)}^2=1-2\times \frac{4}{9}=1-\frac{8}{9}=\frac{1}{9}$

方法二：积化和差公式

由积化和差公式可知： $\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )]$ 代入已知条件 $\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{6}$ 与 $\sin (\alpha -\beta )=\frac{1}{3}$： $\frac{1}{6}=\frac{1}{2}\left[\sin (\alpha +\beta )-\frac{1}{3}\right]$ 化简解得： $\sin (\alpha +\beta )-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}⟹\sin (\alpha +\beta )=\frac{2}{3}$ 后续步骤同方法一，利用余弦的二倍角公式计算得 $\cos (2\alpha +2\beta )=\frac{1}{9}$。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

4. 核心考点：两角和与差的正弦公式、余弦的二倍角公式、整体代换思想。
5. 核心方法：公式代换法、积化和差的应用。
6. 避坑指南：

• 避免求解单角：本题无法也没有必要求出具体的角 $\alpha$ 和 $\beta$，需将 $(\alpha +\beta )$ 和 $(\alpha -\beta )$ 视为整体进行变换。
• 合理选择二倍角公式：余弦二倍角公式有三种形式。在本题中，因只求出了正弦值 $\sin (\alpha +\beta )$，故应选用形式 $\cos 2\theta =1-2{\sin }^2\theta$，避免引入平方关系求 $\cos (\alpha +\beta )$ 带来的符号讨论问题。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：考查教材中三角恒等变换公式的基本应用与推导。
2. 结论推广：在处理复杂的三角函数求值问题时，常通过角的线性组合进行整体转化。例如： $2\alpha =(\alpha +\beta )+(\alpha -\beta )$， $\alpha =(\alpha +\beta )-\beta$ 等。理清已知角与目标角之间的线性代数关系是解题关键。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷文-16 解-三角恒等变换
• 1977-北京理-04
• 2002-北京卷理-08 单-三角恒等变换