2023-新高考I卷-21 解-概率递推

本题导读

本题考查全概率公式与贝叶斯公式。核心在于全概率分析法、递推构造法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2023年新高考I卷）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮。无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 $0.6$，乙每次投篮的命中率均为 $0.8$。由抽签确定第 $1$ 次投篮的人选，第 $1$ 次投篮的人是甲、乙的概率各为 $0.5$。

(1) 求第 $2$ 次投篮的人是乙的概率；

(2) 求第 $i$ 次投篮的人是甲的概率；

(3) 已知：若随机变量 $X_i$ 服从两点分布，且 $P(X_i=1)=q_i$，$P(X_i=0)=1-q_i$，则 $E({\sum }_{i=1}^n{X}_i)={\sum }_{i=1}^n{q}_i$。记前 $n$ 次投篮中甲投篮的次数为 $Y$，求 $E(Y)$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 全概率公式（第1问）：第 2 次是乙投篮包含两种互斥情况：第 1 次是甲且未命中，或第 1 次是乙且命中。利用全概率公式计算。
2. 构建递推求通项（第2问）：设第 $i$ 次甲投篮的概率为 $p_i$。第 $i+1$ 次为甲投篮的概率来自于“第 $i$ 次甲投篮且命中”与“第 $i$ 次乙投篮且未命中”两部分。由此建立 $p_{i+1}$ 与 $p_i$ 的一阶线性递推关系，通过构造辅助等比数列求解通项公式。
3. 期望的线性组合（第3问）：引入示性随机变量 $X_i$，表示第 $i$ 次是否为甲投篮。根据题目提示的期望线性性质，总次数 $Y$ 的期望等于各次甲投篮概率 $p_i$ 的求和，利用等比数列求和公式完成计算。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $0.6$

(2) $p_i=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}{\left(\frac{2}{5}\right)}^{i-1}$

(3) $E(Y)=\frac{n}{3}+\frac{5}{18}\left[1-{\left(\frac{2}{5}\right)}^n\right]$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求第 2 次投篮的人是乙的概率：

记“第 $i$ 次投篮的人是甲”为事件 $A_i$，“第 $i$ 次投篮的人是乙”为事件 $B_i$。 已知 $P(A_1)=0.5,P(B_1)=0.5$。

根据规则：

• 甲投篮命中（$A_i\to A_{i+1}$）概率为 $0.6$，未命中（$A_i\to B_{i+1}$）概率为 $1-0.6=0.4$。
• 乙投篮命中（$B_i\to B_{i+1}$）概率为 $0.8$，未命中（$B_i\to A_{i+1}$）概率为 $1-0.8=0.2$。 由全概率公式： $P(B_2)=P(A_1)P(B_2|A_1)+P(B_1)P(B_2|B_1)$ $P(B_2)=0.5\times 0.4+0.5\times 0.8=0.2+0.4=0.6$。 故第 2 次投篮的人是乙的概率为 $0.6$。

(2) 求第 $i$ 次投篮的人是甲的概率： 设 $P(A_i)=p_i$，则 $P(B_i)=1-p_i$。 根据状态转移关系： $p_{i+1}=p_i\times 0.6+(1-p_i)\times 0.2$ $p_{i+1}=0.4p_i+0.2$。

构造等比数列，设 $p_{i+1}-\lambda =0.4(p_i-\lambda )$， 展开得 $p_{i+1}=0.4p_i+0.6\lambda$。令 $0.6\lambda =0.2$，解得 $\lambda =\frac{1}{3}$。

所以 $\{p_i-\frac{1}{3}\}$ 是公比为 $0.4=\frac{2}{5}$ 的等比数列。 首项 $p_1-\frac{1}{3}=0.5-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$。 通项公式：$p_i-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\cdot (\frac{2}{5}{)}^{i-1}$ 即 $p_i=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}(\frac{2}{5}{)}^{i-1}$。

(3) 求 $E(Y)$：

设 $X_i$ 为第 $i$ 次投篮时的人选标志： 若甲投篮则 $X_i=1$，若乙投篮则 $X_i=0$。 则 $P(X_i=1)=p_i=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}(\frac{2}{5}{)}^{i-1}$。

由题意，$Y={\sum }_{i=1}^n{X}_i$，且 $E(Y)={\sum }_{i=1}^n{p}_i$。 $E(Y)={\sum }_{i=1}^n[\frac{1}{3}+\frac{1}{6}(\frac{2}{5}{)}^{i-1}]=\frac{n}{3}+\frac{1}{6}{\sum }_{i=1}^n(\frac{2}{5}{)}^{i-1}$

利用等比数列求和公式： ${\sum }_{i=1}^n(\frac{2}{5}{)}^{i-1}=\frac{1\cdot [1-(\frac{2}{5}{)}^n]}{1-\frac{2}{5}}=\frac{5}{3}[1-(\frac{2}{5}{)}^n]$

代入得： $E(Y)=\frac{n}{3}+\frac{1}{6}\cdot \frac{5}{3}[1-(\frac{2}{5}{)}^n]=\frac{n}{3}+\frac{5}{18}[1-(\frac{2}{5}{)}^n]$。 故 $E(Y)=\frac{n}{3}+\frac{5}{18}[1-(\frac{2}{5}{)}^n]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：马尔可夫链状态转移思想的初等化应用（全概率公式递推）、特征方程构造等比数列、随机变量示性函数的期望性质。
2. 核心方法：状态空间图法列递推式、待定系数平移构造法、期望求和转化法。
3. 避坑指南：

• 寻找递推关系时，极易将甲乙两人各自的命中率与失误换人概率搞混。务必在草稿纸上画出 $A_i$ 与 $B_i$ 相互转换的交叉箭头网络图，以此理清乘法分支。
• $E(Y)$ 求解时，后半部分等比求和的项数是 $n$（从 $i=1$ 到 $n$），首项为当 $i=1$ 时 ${\left(\frac{2}{5}\right)}^0=1$。切勿将首项错认成 $\frac{2}{5}$ 或弄错分母 $1-q$ 的计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是以马尔可夫链为背景的概率递推经典模型，广泛见于近代高考试卷中，考查考生通过有限次试验的离散数据建立数列模型推演全局规律的能力。
2. 结论推广：通过此模型可推演出长期稳态概率。当投篮次数 $n\to \infty$ 时，甲单次投篮的概率 $p_n\to \frac{1}{3}$。该极限定值仅与甲乙两人的未命中换人概率比值（$0.2:0.4=1:2$）相关，而与最初的抽签结果（初始概率 $0.5$）完全无关。这种无后效性的极限收敛特征是所有平稳马尔可夫递推题的最底层数学本质。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.02全概率、贝叶斯公式与马尔可夫游走模型
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2002-新课标理-22 解-数列的递推关系
• 2003-广东卷-22
• 2004-全国卷I理-15 填-数列的递推关系