本题导读
本题考查等比数列的前 n 项和，以及等比数列的性质。
📌【题干】
Question
（2023年新高考II卷）记 为等比数列 的前 项和，若 ，，则 （ ）
A. B. C. D.
🔍【思路分析】
破题导航
- 基本量法（解法一）：
- 设首项为 ，公比为 。排除 和 的特殊情况。
- 利用 列出关于 的方程，通过因式分解（平方差与立方差）求出 或 。
- 建立 与 的比例关系：。
- 性质法（解法二）：
- 利用等比数列性质：若 是等比数列，则 仍成等比数列（若片段和不为 0）。
- 取 ，则 成等比数列。
- 设 ，列出等比中项方程求解 ，进而求出数列的公比和 。
✅【答案】
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C
✍【详细解析】
Abstract
解法一：基本量法（推荐） 第一步：分析公比 的范围 若 ，则 ，与题意 不符。 若 （即 ），则 ，此时 且 ，与 矛盾。 故 。
第二步：利用 与 的关系求 由 得： 利用因式分解 ： 由于 ，约去后得： 解得 或 （舍去）。故 。
第三步：计算 观察 与 的结构关系： 代入 和 ： 。
解法二：性质法（片段和） 第一步：构造片段和等比数列 令 ，则 成等比数列。 设 ，则：
第二步：列中项方程 根据 ： 解得 或 。
第三步：校验与求解
- 若 ，则片段和公比 。 此时 （矛盾，实数数列中 ），舍去。
- 若 ，则： 可见该片段和数列首项为 ，公比 。 则第四个片段 。 。
故选：C。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：等比数列前 项和公式、高次多项式的因式分解（立方差、平方差）。
- 核心方法：基本量整体代换法，性质法
- 避坑指南：解出 后，应剔除不符合实数运算法则的负根 。求 时，利用 进行整体代换是最优路径，避免强行求出 和 带来的繁琐计算。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：本题考查等比数列基础运算与性质，属于高考数列模块的典型计算题，背景为代数恒等式的应用。
- 结论推广：等比数列前 项和的下标成倍数关系时（如 ），其代数式必满足多项式因式分解规律（，）。此外，其等长度片段和 构成公比为 的新等比数列（前提是片段和不为 0），这是处理此类题目的两大通用武器。
🔗【关联脉络】
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