2023-甲卷文-11 单-复合函数单调性

本题导读

本题考查复合函数的单调性，以及函数的对称性。

📌【题干】

Question

（2023年甲卷文）已知函数 $f(x)={\text{e}}^{-(x-1{)}^2}$，记 $a=f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$，$b=f\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，$c=f\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)$，则（ ）

A. $b>c>a$　　B. $b>a>c$　　C. $c>b>a$　　D. $c>a>b$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析函数对称性：由解析式中含有 $(x-1{)}^2$ 可知，函数 $f(x)$ 的图像关于直线 $x=1$ 对称。
2. 分析函数单调性：

• 当 $x\le 1$ 时，$(x-1{)}^2$ 随 $x$ 的增大而减小，则 $-(x-1{)}^2$ 随 $x$ 的增大而增大，故 $f(x)$ 在 $(-\infty ,1]$ 上单调递增。
• 综上，自变量对应的点距离对称轴 $x=1$ 越近，其函数值 $f(x)$ 越大。

3. 计算并比较距离：

• 分别计算各个自变量到对称轴 $x=1$ 的绝对距离。
• 比较各距离的大小关系，距离越小则对应的函数值越大，由此得出 $a,b,c$ 的大小关系。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

令内层函数 $g(x)=-(x-1{)}^2$。 其图像为开口向下的抛物线，对称轴为直线 $x=1$。 因为外层底数 $\text{e}>1$，复合函数 $f(x)={\text{e}}^{g(x)}$ 的单调性与 $g(x)$ 相同。 由此可知，函数 $f(x)$ 的图像关于直线 $x=1$ 对称，且在 $(-\infty ,1]$ 上单调递增，在 $[1,+\infty )$ 上单调递减。

自变量 $x$ 距离对称轴 $x=1$ 越近，函数值 $f(x)$ 越大。 分别计算各点到对称轴 $x=1$ 的距离如下： 对于 $a=f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$，其自变量到对称轴的距离为： $d_a=\left|\frac{\sqrt{2}}{2}-1\right|=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$

对于 $b=f\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，其自变量到对称轴的距离为： $d_b=\left|\frac{\sqrt{3}}{2}-1\right|=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$

对于 $c=f\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)$，其自变量到对称轴的距离为： $d_c=\left|\frac{\sqrt{6}}{2}-1\right|=\frac{\sqrt{6}-2}{2}$

利用根式估算比较 $d_a,d_b,d_c$ 的大小： 因为 $\sqrt{2}\approx 1.414$，$\sqrt{3}\approx 1.732$，$\sqrt{6}\approx 2.449$， 所以： $2-\sqrt{2}\approx 0.586$ $2-\sqrt{3}\approx 0.268$ $\sqrt{6}-2\approx 0.449$

显见 $2-\sqrt{3}<\sqrt{6}-2<2-\sqrt{2}$， 即距离大小关系为：$d_b<d_c<d_a$。

由于到对称轴的距离越近（距离越小）对应的函数值越大， 所以函数值的大小关系为：$b>c>a$。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复合函数的单调性与对称性的综合应用。
2. 核心方法：对称转换法（距离法）。将位于对称轴两侧或单调性不同区间内的变量，通过求其与对称轴的绝对距离，统一转化到同一个单调区间内进行比较。
3. 避坑指南：

• 避免直接代入计算：直接将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 等数据代入求 $\text{e}$ 的幂次会使运算极其复杂且难以直接比出大小。
• 距离公式去绝对值符号错误：在计算 $d_c$ 时，由于 $\frac{\sqrt{6}}{2}\approx \frac{2.449}{2}=1.224>1$，去掉绝对值符号后应为 $\frac{\sqrt{6}}{2}-1=\frac{\sqrt{6}-2}{2}$，切勿混淆符号导致大小关系颠倒。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》中复合函数单调性比较大小的典型题型。本题的函数模型实际上是概率论与数理统计中标准正态分布概率密度曲线（高斯函数 $y={\text{e}}^{-x^2}$）经平移后的变形。
2. 结论推广：

• 高斯函数性质推广：对于任意形如 $f(x)=A{\text{e}}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$ （其中 $A,\sigma >0$）的函数，其图像关于直线 $x=\mu$ 对称。
• 在整个实数集 $\mathbb{R}$ 上，该函数值的大小完全由 $|x-\mu |$ 决定。当 $|x_1-\mu |<|x_2-\mu |$ 时，恒有 $f(x_1)>f(x_2)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1987-全国卷理-05 单-函数的单调性
• 1989-全国卷理-11 单-复合函数的单调性
• 2001-豫粤卷-09 单-函数的单调性