2024-上海卷-06 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式展开式，以及赋值法求系数和。

📌【题干】

Question

（2024年上海卷）在 $(x+1{)}^n$ 的二项展开式中，若各项系数和为 32，则 $x^2$ 项的系数为 ____.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 赋值法求 $n$：对于任意多项式展开式，若要计算其“各项系数和”，最快捷的代数技巧是令变量为 1。即各项系数和等于 $(1+1{)}^n=2^n$，由此可以轻松解出 $n$ 的值。
2. 通项定位特定项：已知 $n$ 后，写出标准二项展开式的通项公式 $T_{r+1}={\text{C}}_n^r{x}^{n-r}$。
3. 组合数求解：令 $x$ 的指数等于 2，求出对应的参数 $r$，代入二项式系数公式直接输出答案。

✅【答案】

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$10$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用赋值法求解参数 $n$

在代数式 $(x+1{)}^n$ 中，令 $x=1$，则展开式中的所有自变量 $x$ 均塌陷变为 1，此时整项代数式的值即等价于各项系数的绝对和： $\text{各项系数和}=(1+1{)}^n=2^n$ 题目已知该展开式的各项系数和为 32，建立方程： $2^n=32⟹2^n=2^5⟹n=5$

第二步：写出二项展开式的通项公式

将 $n=5$ 代入，原式变为 $(x+1{)}^5$。根据二项式定理，其展开式的通项公式为： $T_{r+1}={\text{C}}_5^r\cdot x^{5-r}\cdot 1^r={\text{C}}_5^r{x}^{5-r}(r=0,1,2,3,4,5)$

第三步：锁定目标项并计算系数

题目要求的是 $x^2$ 项的系数，我们令通项中 $x$ 的指数等于 2： $5-r=2⟹r=3$ 将 $r=3$ 重新回填入通项公式的系数部分，即可求得该项的系数为组合数 ${\text{C}}_5^3$。 根据组合数的对称性质 ${\text{C}}_n^r={\text{C}}_n^{n-r}$ 展开计算： ${\text{C}}_5^3={\text{C}}_5^2=\frac{5\times 4}{2\times 1}=10$ 所以， $x^2$ 项的系数为 10。

【答案】：10

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：各项系数和的赋值特征、二项展开式通项公式 $T_{r+1}={\text{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$ 的定向应用。
2. 核心方法：一元赋值法、特征指数方程法。
3. 避坑指南：

• 变量系数复杂化圈套：本题的构型是非常基础的 $(x+1{)}^n$，其“二项式系数”与“项的系数”在数值上完全对齐。但高考若将其变构为 $(2x-1{)}^n$ 这类带有系数和负号的基底，项的系数就必须把外加的 $2^{n-r}$ 和 $(-1{)}^r$ 整体分离出来相乘，切忌惯性盲目等同。
• $r$ 的对齐错位：很多考生习惯性地认为要求 $x^2$ 的系数，其组合数下底就一定是 2（即误算为 ${\text{C}}_5^2$ ）。虽然本题中 ${\text{C}}_5^3={\text{C}}_5^2=10$ 巧合相等，但在一般的不对称展开式中（如 $(x^2+\frac{1}{x}{)}^n$ ），必须老老实实通过列指数方程求解 $r$，严禁凭直觉直接套用。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自教材选择性必修第三册第六章《计数原理》中二项式定理的课后核心性质题。考查高考试卷中对于“二项式通项公式”这一高频工具点的直接精准提取。
2. 结论推广: “赋值法”是解决多项式系数问题极具简化处理色彩的数学思想。在高考变式拓展中：

• 令 $x=1$ $⟹$ 可得各项系数和；
• 令 $x=0$ $⟹$ 可直接分离出常数项；
• 联立 $f(1)$ 与 $f(-1)$ 进行加减对消 $⟹$ 可用于批量抽取奇数项系数和或偶数项系数和。掌握这一核心机制，可快速求解所有高阶复杂的展开式系数变形题。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2009-江西卷理-07
• 2021-浙江卷-13 填-二项式定理
• 1989-全国卷理-16 填-二项式系数和