2024-上海卷-11 填-正弦定理

本题导读

本题考查正弦定理，以及两角和与差的正弦公式。

📌【题干】

Question

（2024年上海卷）已知点 $B$ 在点 $C$ 正北方向，点 $D$ 在点 $C$ 的正东方向， $BC=CD$，存在点 $A$ 满足 $\angle BAC=16.5^{\circ }$， $\angle DAC=37^{\circ }$，则 $\angle BCA=$ ________.（精确到 0.1 度）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 方位角模型转化：由“正北”与“正东”的几何描述，可以直接确立垂直关系，即 $\angle BCD=90^{\circ }$。
2. 设置核心变量：设等长线段 $BC=CD=a$，设所求的目标角 $\angle BCA=\theta$，则根据互余关系，另一侧的夹角可表示为 $\angle ACD=90^{\circ }-\theta$。
3. 公共边桥接：在 $△ABC$ 中，利用正弦定理表示出公共边 $AC$；在 $△ACD$ 中，利用正弦定理同样表达出公共边 $AC$。
4. 方程化简求解：令两个 $AC$ 的表达式相等，消除未知量 $a$。利用两角和公式展开，通过同除以 $\cos \theta$ 进行弦切互化，从而求出 $\tan \theta$ 的代数式，最后进行数值逼近。

✅【答案】

点击查看答案

$7.8^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确立角度几何关系与变量设定 设等长边长 $BC=CD=a$，设待求的 $\angle BCA=\theta$。 因为点 $B$ 在点 $C$ 的正北方向，点 $D$ 在点 $C$ 的正东方向，所以相互垂直： $\angle BCD=90^{\circ }$ 由于射线 $CA$ 穿过直角内部，因此在右侧 $△ACD$ 中： $\angle ACD=90^{\circ }-\theta$

第二步：在左侧 $△ABC$ 中应用正弦定理表达 $AC$ 在 $△ABC$ 中，已知 $\angle BAC=16.5^{\circ }$， $\angle BCA=\theta$． 由三角形内角和定理，第三个内角可表达为： $\angle ABC=180^{\circ }-(\angle BAC+\angle BCA)=180^{\circ }-(16.5^{\circ }+\theta )$ 根据正弦定理 $\frac{BC}{\sin \angle BAC}=\frac{AC}{\sin \angle ABC}$，移项变形可得： $AC=\frac{BC\cdot \sin \angle ABC}{\sin \angle BAC}=\frac{a\cdot \sin [180^{\circ }-(16.5^{\circ }+\theta )]}{\sin 16.5^{\circ }}$ 利用诱导公式 $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$ 化简： $AC=\frac{a\sin (\theta +16.5^{\circ })}{\sin 16.5^{\circ }}\dots \dots \text{(1)}$

第三步：在右侧 $△ACD$ 中应用正弦定理表达 $AC$ 在 $△ACD$ 中，已知 $\angle DAC=37^{\circ }$， $\angle ACD=90^{\circ }-\theta$． 由三角形内角和定理，其第三个内角可表达为： $\angle ADC=180^{\circ }-(\angle DAC+\angle ACD)=180^{\circ }-[37^{\circ }+(90^{\circ }-\theta )]=53^{\circ }+\theta$ 根据正弦定理 $\frac{CD}{\sin \angle DAC}=\frac{AC}{\sin \angle ADC}$，移项变形可得： $AC=\frac{CD\cdot \sin \angle ADC}{\sin \angle DAC}=\frac{a\cdot \sin (53^{\circ }+\theta )}{\sin 37^{\circ }}\dots \dots \text{(2)}$

第四步：联立方程并展开三角恒等变换 由于式①与式②表达的是同一条公共边 $AC$，两式相等并同时约去边长常数 $a$： $\frac{\sin (\theta +16.5^{\circ })}{\sin 16.5^{\circ }}=\frac{\sin (53^{\circ }+\theta )}{\sin 37^{\circ }}$

利用两角和的正弦公式展开等式两端的分子： $\frac{\sin \theta \cos 16.5^{\circ }+\cos \theta \sin 16.5^{\circ }}{\sin 16.5^{\circ }}=\frac{\sin 53^{\circ }\cos \theta +\cos 53^{\circ }\sin \theta }{\sin 37^{\circ }}$

将等式左端的分式逐项拆分开： $\sin \theta \cdot \frac{\cos 16.5^{\circ }}{\sin 16.5^{\circ }}+\cos \theta \cdot \frac{\sin 16.5^{\circ }}{\sin 16.5^{\circ }}=\sin \theta \cot 16.5^{\circ }+\cos \theta$

对于等式右端，利用互余诱导公式进行转化（因为 $53^{\circ }+37^{\circ }=90^{\circ }$，所以 $\sin 53^{\circ }=\cos 37^{\circ }$， $\cos 53^{\circ }=\sin 37^{\circ }$）： $\frac{\cos 37^{\circ }\cos \theta +\sin 37^{\circ }\sin \theta }{\sin 37^{\circ }}=\cos \theta \cdot \frac{\cos 37^{\circ }}{\sin 37^{\circ }}+\sin \theta \cdot \frac{\sin 37^{\circ }}{\sin 37^{\circ }}=\cos \theta \cot 37^{\circ }+\sin \theta$

将化简后的左右两端重新对齐： $\sin \theta \cot 16.5^{\circ }+\cos \theta =\sin \theta +\cos \theta \cot 37^{\circ }$

移项进行同类项归拢： $\sin \theta (\cot 16.5^{\circ }-1)=\cos \theta (\cot 37^{\circ }-1)$

两端同时除以 $\cos \theta$ 完成弦切互化： $\tan \theta =\frac{\cot 37^{\circ }-1}{\cot 16.5^{\circ }-1}$

第五步：数值逼近计算 引入常用的三角函数近似值（ $\cot 37^{\circ }\approx 1.3270$， $\cot 16.5^{\circ }\approx 3.3759$）： $\tan \theta =\frac{1.3270-1}{3.3759-1}=\frac{0.3270}{2.3759}\approx 0.13763$

计算其反正切值求出最终角度： $\theta =\arctan (0.13763)\approx 7.835^{\circ }$ 题目要求最终结果精确到 0.1 度，进行四舍五入保留一位小数，得： $\angle BCA=7.8^{\circ }$

【答案】：$7.8^{\circ }$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：多三角形正弦定理桥接、诱导公式互余变换、两角和公式展开、余切向正切的弦切转换。
2. 核心方法：公共边法（解多三角形拼接题的通用手段）。
3. 避坑指南：

• 陷入高次方程逻辑：部分考生容易在两个三角形中盲目运用余弦定理，从而列出包含 $A{C}^2$ 的高次方程导致联立失败。当图形中角度信息丰富时，优先选用正弦定理的线性结构进行求解。
• 互余名相转换错位：在将 $53^{\circ }$ 转化为 $37^{\circ }$ 的相关三角函数时，需注意 $\sin 53^{\circ }=\cos 37^{\circ }$ 以及 $\cos 53^{\circ }=\sin 37^{\circ }$，切勿记反。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题以平面几何方位角为背景，考查正弦定理在平面测量中的实际应用，属于经典的双基站交会定位几何模型变式。
2. 结论推广：对于任意具有公共边 $AC$ 的双三角形拼接模型（ $△ABC$ 与 $△ADC$ ），若满足底边相等 $BC=CD$，且已知其中相关角的大小时，通过正弦定理可统一抽象出关于随动角 $\theta$ 的基本结构方程： $\frac{\sin (\theta +\alpha )}{\sin \alpha }=\frac{\sin (\theta +\beta )}{\sin \gamma }$ 、

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2022-高考浙江卷-18
• 2003-上海卷理-07
• 2006-天津卷理-17 解-两角和的正弦公式、二倍角公式