2024-上海卷-14 单-和差角的正弦公式

本题导读

本题考查两角和与差的正弦公式，以及二倍角的正弦与余弦公式。

📌【题干】

Question

（2024年上海卷）下列函数 $f(x)$ 的最小正周期是 $2\pi$ 的是（ ） A. $\sin x+\cos x$　　　　B. $\sin x\cos x$　　　　C. ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$　　　　D. ${\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x$

🔍【思路分析】

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1. 多项式化简降幂合一：

• A 选项：属于标准的 $\sin x\pm \cos x$ 构型，利用辅助角公式（合一公式）进行打包。
• B 选项：属于正弦二倍角公式的逆向提取。
• C 选项：直接利用同角三角函数基本关系式中的平方和定理化简。
• D 选项：属于余弦二倍角公式的逆向提取。

2. 周期公式比对判定：对于化简后形如 $y=A\sin (\omega x+\varphi )$ 或 $y=A\cos (\omega x+\varphi )$ 的标准正余弦曲线，其最小正周期计算通式为 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$。
3. 筛选常数函数概念：常数函数虽然具有周期性，但由于在正实数集内无法找到一个“最小的”正数作为周期，因此常数函数在数学定义上不存在最小正周期。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

• A 选项： $f(x)=\sin x+\cos x$ 利用辅助角公式进行合一变换： $f(x)=\sqrt{1^2+1^2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ 此时，自变量 $x$ 的核心系数 $\omega =1$。 套用周期计算公式，其最小正周期为： $T=\frac{2\pi }{|\omega |}=\frac{2\pi }{1}=2\pi$ 完全符合题意要求，故 A 正确。

• B 选项： $f(x)=\sin x\cos x$ 逆用正弦二倍角公式 $\sin 2x=2\sin x\cos x$ 进行变形： $f(x)=\frac{1}{2}\cdot (2\sin x\cos x)=\frac{1}{2}\sin 2x$ 此时，自变量 $x$ 的核心系数 $\omega =2$。 套用周期计算公式，其最小正周期为： $T=\frac{2\pi }{|\omega |}=\frac{2\pi }{2}=\pi$ 与题干要求的 $2\pi$ 不符，故 B 错误。

• C 选项： $f(x)={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$ 利用同角三角函数的基本关系基本恒等式直接塌陷化简： $f(x)=1$ 这属于典型的常数函数。根据周期函数的定义，对于任意的正实数 $T>0$，由于其不含自变量，均有 $f(x+T)=f(x)=1$ 恒成立。因此任何正实数都是它的周期。由于在正实数集合 $(0,+\infty )$ 中不存在一个最小的数，所以常数函数不存在最小正周期，故 C 错误。

• D 选项： $f(x)={\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x$ 逆用余弦二倍角公式 $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$ 提取负号进行变形： $f(x)=-({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)=-\cos 2x$ 此时，自变量 $x$ 的核心系数 $\omega =2$。 套用周期计算公式，其最小正周期为： $T=\frac{2\pi }{|\omega |}=\frac{2\pi }{2}=\pi$ 与题干要求的 $2\pi$ 不符，故 D 错误。

【答案】：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：辅助角公式与二倍角公式的逆向提取、标准三角函数曲线周期通式 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$ 的应用。
2. 核心方法：公式化简对比法。
3. 避坑指南：

• 二倍角符号错配：在化简 D 选项时，部分考生极易因粗心忽略余弦二倍角公式的符号顺序（标准公式是 ${\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$ ），将其直接看成 $\cos 2x$，虽然本题由于加了绝对值或平方不影响对系数 $\omega =2$ 的读取，但在解答题中属于严重失分点。
• 掉入常数函数概念陷阱： C 选项是高考中最爱设计的概念干扰项。很多考生看到 ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ 后，会由于直觉认为其图像是一条水平直线，便误以为它“没有周期”或者“周期为 0”。请牢记：常数函数处处有周期（任何正数都是它的周期），但唯独不存在“最小正周期”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自教材必修第一册第五章《三角函数》中三角恒等变换与函数图象性质的典型课后习题，是高考试卷中用来测验基本公式熟练度的经典题型。
2. 结论推广: 在高考三角函数中，形如 $f(x)=A{\sin }^{2}x+B\sin x\cos x+C{\cos }^{2}x$ 的二次齐次式是一种非常高频的复合母题结构。通法是通过降幂公式（ ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$， ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$ ）与倍角公式，将其统一简化化简为标准一阶多项式形式 $M\sin 2x+N\cos 2x+P$，进而利用辅助角公式将其合并为含 $2x$ 的单弦曲线。这类整体化简构型的最小正周期恒为 $\pi$，掌握这一规律可实现快速求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2014-天津卷文-08 单-三角周期
• 2007-上海卷理-06 填-三角函数周期性
• 2009-江西卷理-04