2024-北京卷-01 单-集合

本题导读

本题考查一元一次不等式表示的连续区间集合的并集运算，核心在于通过数轴或直接比对端点确定合并后的区间范围.

📌【题干】

Question

（2024年北京卷）已知集合 $M=\{x\mid -3<x<1\}$， $N=\{x\mid -1⩽x<4\}$，则 $M\cup N=$ ()

A. $\{x\mid -1⩽x<1\}$　　　　B. $\{x\mid x>-3\}$　　C. $\{x\mid -3<x<4\}$　　D. $\{x\mid x<4\}$

🔍【思路分析】

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1. 识别集合类型：两个集合均为数轴上的连续区间。
2. 理解运算含义：并集 $M\cup N$ 要求提取出属于集合 $M$ 或属于集合 $N$ 的所有元素。
3. 确定范围边界：比对两个区间的左边界最小值与右边界最大值，合并重叠部分。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

方法一：直接运算法（推荐）

观察集合范围： 集合 $M$ 的范围是 $(-3,1)$； 集合 $N$ 的范围是 $[-1,4)$。

寻找并集覆盖区间： 因为 $-1$ 处于 $(-3,1)$ 之间，所以两个区间存在重叠部分。 并集的左端点由 $M$ 的左端点决定，为 $-3$（开）； 并集的右端点由 $N$ 的右端点决定，为 $4$（开）。 故 $M\cup N=\{x\mid -3<x<4\}$。

方法二：数轴分析法

在数轴上画出 $M$：从 $-3$ 到 $1$ 的线段（端点均为圆圈）。 在数轴上画出 $N$：从 $-1$ 到 $4$ 的线段（左端点 $-1$ 为实心点，右端点 $4$ 为圆圈）。 合并图形：观察两条线段覆盖的总长度，从 $-3$ 持续延伸到 $4$。 因此，$M\cup N=\{x\mid -3<x<4\}$。

【答案】：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合的并集运算、一元一次不等式组的区间表示。
2. 核心方法：直接运算法、数轴分析法。数轴法是处理连续区间集合运算最直观且不易出错的方法。
3. 避坑指南：

• 易混辨析：并集（ $\cup$ ）取“全”，交集（ $\cap$ ）取“共”。若本题求 $M\cap N$，则答案为 $\{x\mid -1⩽x<1\}$（即选项 A）。

• 端点虚实：注意不等号中是否带有等号，这决定了端点的“开（虚）”与“闭（实）”。本题并集结果虽不涉及 $-1$ 的实心点性质变化，但在处理复杂交集时需格外留意。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是历年高考数学卷第一题的常客，源自高中教材中集合与常用逻辑用语的基础概念题，考查最基本的集合运算与符号认知。
2. 结论推广：对于任意两个有交集的连续实数区间 $A=(a,b)$ 和 $B=(c,d)$，若 $a⩽c<b⩽d$，则其并集恒为 $(a,d)$，交集恒为 $(c,b)$。遇到区间运算，画数轴“找两端”是求解此类问题的通用方法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷理-01 单-集合并集
• 2004-浙江理-13 填-分段函数
• 2009-上海卷文-03 填-三阶行列式代数余子式