2024-北京卷-05 单-数量积和充要条件

本题导读

本题考查向量的数量积运算以及充分条件与必要条件的判断。核心在于将数量积关系等价转化为模长关系，再辨析模长相等与向量相等或相反的逻辑包含关系.

📌【题干】

Question

（2024年北京卷）设 $\overrightarrow{a}$， $\overrightarrow{b}$ 是向量，则“ $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=0$ ”是“ $\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{b}$ 或 $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$ ”的()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

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1. 化简条件：利用向量数量积的平方差公式展开，将左侧条件转化为两个向量的绝对模长等式。
2. 逻辑推导：根据充分条件与必要条件的定义，双向推导“模长相等”与“两向量等大且共线”的因果关系，从而得出最终结论。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设条件 $p$: $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=0$。 设条件 $q$: $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$ 或 $\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{b}$。

第一步：化简条件 $p$ 将条件 $p$ 左边的式子展开： $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})={\overrightarrow{a}}^2-\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a}-{\overrightarrow{b}}^2$ 因为向量的数量积满足交换律（ $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a}$ ），所以中间两项抵消，得到： ${\overrightarrow{a}}^2-{\overrightarrow{b}}^2=0$ 由向量模的性质 ${\overrightarrow{x}}^2=|\overrightarrow{x}{|}^2$ 可知： $|\overrightarrow{a}{|}^2-|\overrightarrow{b}{|}^2=0⟹|\overrightarrow{a}{|}^2=|\overrightarrow{b}{|}^2$ 因为向量的模非负，所以等价于： $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$ 即条件 $p$ 等价于：“向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 的模长相等”。

第二步：判断逻辑推导关系

1. 判断充分性（ $p\Rightarrow q$ 是否成立）： 已知 $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$，能否推出 $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$ 或 $\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{b}$？ 不能。因为两个向量的模长相等，它们的方向可以是任意的，不一定共线。例如等边三角形的两个不重合边向量，长度相等但方向不同。因此推不出 $\overrightarrow{a}=\pm \overrightarrow{b}$，充分性不成立。

2. 判断必要性（ $q\Rightarrow p$ 是否成立）： 已知 $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$ 或 $\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{b}$，能否推出 $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$？ 能。无论 $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{b}$ 是相等还是相反，给它们两边同时取模，显然都有 $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$，即 $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=0$ 成立，必要性成立。

综上所述，条件 $p$ 推不出条件 $q$，但条件 $q$ 能推出条件 $p$，所以 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件。

【答案】：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量数量积的运算性质、逻辑用语（充分条件与必要条件的判定）。
2. 核心方法：向量代数运算法、充要条件定义推导法（小范围推大范围）。
3. 避坑指南：

• 概念混淆：必须理清“模长相等”与“向量相等”的区别。向量包含大小和方向两个要素，只有大小和方向都相同，两个向量才相等。
• 逻辑反转：做逻辑用语题时，切忌将“谁是谁的条件”顺序弄反。命题“ $p$ 是 $q$ 的条件”中，考察的是 $p\Rightarrow q$ （充分性）和 $q\Rightarrow p$ （必要性）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自高中数学教材必修第二册“平面向量”与“常用逻辑用语”的跨章节融合。其几何背景在于考查向量的代数运算与其对应几何特征（长度、方向）之间的内在联系。
2. 结论推广: 在代数与几何的结合点上，常常利用数量积公式分离向量的方向属性。遇到 $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=0$ 这一特征结构时，可直接将其“等价翻译”为两向量模长相等（如在三角形中推导等腰三角形）。同理，若遇到 $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$，则可等价翻译为 $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2013-安徽卷理-09 单-数量积运算性质
• 2014-安徽卷理-02 单-充分条件与必要条件