2024-北京卷-07 单-对数运算

本题导读

本题考查对数的基本运算性质以及在实际情境中的应用。核心在于利用题目给定的不变量作为桥梁，建立方程并通过对数的运算性质进行化简.

📌【题干】

Question

（2024年北京卷）生物丰富度指数 $d=\frac{S-1}{\ln N}$ 是河流水质的一个评价指标，其中 $S$，$N$ 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数 $d$ 越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数 $S$ 没有变化，生物个体总数由 $N_1$ 变为 $N_2$，生物丰富度指数由 2.1 提高到 3.15，则()

A. $3N_2=2N_1$　　　B. $2N_2=3N_1$　　　C. $N_2^2=N_1^3$　　　D. $N_2^3=N_1^2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别常量与变量：题目指出“生物种类数 $S$ 没有变化”，即分子 $S-1$ 为不变量常数。
2. 建立方程与等量代换：分别代入治理前后的数据，得到 $S-1=2.1\ln N_1$ 与 $S-1=3.15\ln N_2$，从而建立等式 $2.1\ln N_1=3.15\ln N_2$。
3. 运用对数运算法则：化简系数比例，并利用对数性质 $m\ln x=\ln (x^m)$ 将系数转化为真数指数，脱去对数符号即可得到 $N_1$ 与 $N_2$ 的代数关系。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

已知生物丰富度指数公式为 $d=\frac{S-1}{\ln N}$，且治理前后生物种类数 $S$ 保持不变。

第一步：根据已知条件列出方程 治理前：生物个体总数为 $N_1$，指数 $d_1=2.1$，代入公式得： $2.1=\frac{S-1}{\ln N_1}⟹S-1=2.1\ln N_1$ 治理后：生物个体总数变为 $N_2$，指数 $d_2=3.15$，代入公式得： $3.15=\frac{S-1}{\ln N_2}⟹S-1=3.15\ln N_2$

第二步：消去常量 $S-1$，建立关系式 由上述两式桥接可得： $2.1\ln N_1=3.15\ln N_2$

第三步：化简系数并利用对数性质求解 观察系数 2.1 和 3.15，等式两边同时除以 1.05（或同乘 100 再约分），化简得到： $2\ln N_1=3\ln N_2$ 根据对数运算性质 $m\ln a=\ln (a^m)$，将系数化为真数的指数： $\ln (N_1^2)=\ln (N_2^3)$ 因为对数函数 $y=\ln x$ 是单调递增的一一对应函数，所以真数必然相等： $N_1^2=N_2^3$ 即 $N_2^3=N_1^2$。

【答案】：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数的运算性质 $m{\log }_{a}M={\log }_a(M^m)$、代数方程的等量代换。
2. 核心方法：找“不变量”法。在物理或生活实际情境题中，寻找未发生改变的量（本题中的 $S-1$ ）并将其分离作为等量代换的桥梁，是破题的最快捷径。
3. 避坑指南：处理 2.1 和 3.15 的系数时，需对数字比例保持敏感，若计算失误将其约分为 $3:4$ 或其他比例，将直接导致错选。注意最终选项的形式是底数带指数的形式，不要误丢对数符号而错选成一次线性关系（如 A、B 选项）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是高考数学中常见的“数学建模与跨学科应用”题型，具有生态学水质评价的实际背景。考查学生在冗长文字描述中提取核心数学模型（抽象出常量与变量）的信息处理能力。
2. 结论推广: 在处理形如 $y=\frac{k}{\ln x}$（ $k$ 为常数）的反比例与对数复合模型时，若已知两状态 $y_1,x_1$ 和 $y_2,x_2$，恒有比例关系 $y_1\ln x_1=y_2\ln x_2⟹x_1^{y_1}=x_2^{y_2}$。掌握此代数同构特征，可直接将题目条件中的 2.1 和 3.15 提纯化简为 2 和 3，秒得 $N_1^2=N_2^3$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1977-江苏卷-01(4)
• 1988-全国卷理-23 解-对数式大小比较
• 1990-全国卷理-01 单-指数方程与对数