2024-天津卷-02 单-充要条件

本题导读

本题考查充分必要条件的判定，以及幂函数的图象与性质。

📌【题干】

Question

（2024年天津卷）设 $a,b\in \mathbf{R}$，则“$a^3=b^3$”是“3^{a} = 3^{b}”的（ ） A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确立判定对象：设条件 $p:a^3=b^3$，条件 $q:3^a=3^b$。判定 $p⟹q$ 与 $q⟹p$ 的真假。
2. 利用单调性化简条件：

• 对于条件 $p$，等式两端具有相同的幂指数 $3$，可构造幂函数 $f(x)=x^3$，利用其在 $\mathbf{R}$ 上的严格单调性化简等式。
• 对于条件 $q$，等式两端具有相同的底数 $3$，可构造指数函数 $g(x)=3^x$，利用其严格单调性化简等式。

3. 等价比对得出结论：比对两条件化简后的最终代数结果，确定其逻辑关系。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设条件 $p:a^3=b^3$，条件 $q:3^a=3^b$。

第一步：剖析条件 $p$ 的本质 构造幂函数： $f(x)=x^3$ 根据幂函数的性质， $f(x)=x^3$ 的定义域为 $\mathbf{R}$，且在整个实数集 $\mathbf{R}$ 上是严格单调递增的。 根据单调函数的性质，若 $f(a)=f(b)$，则必有 $a=b$。 由此可得： $a^3=b^3⟺a=b$ 即条件 $p$ 等价于 $a=b$。

第二步：剖析条件 $q$ 的本质 构造指数函数： $g(x)=3^x$ 根据指数函数的性质，由于底数满足 $3>1$，因此指数函数 $g(x)=3^x$ 在整个实数集 $\mathbf{R}$ 上是严格单调递增的。 同理，根据单调函数的性质，若 $g(a)=g(b)$，则必有 $a=b$。 由此可得： $3^a=3^b⟺a=b$ 即条件 $q$ 等价于 $a=b$。

第三步：组合完成逻辑判定 综上所述：

• 由 $a^3=b^3⟹a=b⟹3^a=3^b$，即 $p⟹q$ 成立，充分性成立；
• 由 $3^a=3^b⟹a=b⟹a^3=b^3$，即 $q⟹p$ 成立，必要性成立。

因为条件 “$a^3=b^3$” 与条件 “$3^a=3^b$” 均等价于 “$a=b$”，所以它们互为充要条件。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：充分必要条件的判定、奇次幂函数 $y=x^3$ 与指数函数 $y=3^x$ 的严格单调性。
2. 核心方法：等价转化法、构造函数法。
3. 避坑指南：

• 忽视偶次幂的非单调性：若条件 $p$ 变为 “$a^2=b^2$”，由于二次函数 $y=x^2$ 在 $\mathbf{R}$ 上不具单调性， “$a^2=b^2$” 只能化简为 $a=\pm b$。此时，由 $a=b⟹a^2=b^2$ 成立（必要性），但由 $a^2=b^2/⟹a=b$（充分性不成立），关系将变为必要不充分条件。只有全域严格单调的函数才可以进行双向等号去掉函数名。
• 概念表述错配：在书写推导理由时，注意将幂函数与指数函数的概念对齐，避免混淆其各自的底数与指数特征。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查常用逻辑用语与基本初等函数单调性的结合，属于高考试卷前段的常规基础题，考查规范运用函数单调性解决逻辑推理问题的能力。
2. 结论推广：利用函数的严格单调性去掉外层函数符号，是解决超越方程或不等式的通用方法。不仅适用于指幂函数，在对数函数（如 $\ln a=\ln b⟺a=b$ ）及其他在特定定义域内严格单调的函数中，只要确定了单调性，即可将超越映射关系转化为最基础的线性或整式关系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-07 单-充分必要条件判定
• 2013-浙江卷理-04 单-充分必要条件判定
• 2014-上海卷理-15 单-充分必要条件判定