2024-新高考I卷-04 单-和差角的余弦公式

本题导读

本题考查三角恒等变换. 核心在于利用两角和与差的余弦展开式，结合正切的定义（弦切互化），通过建立项与项之间的比例关系或整体代换来求解目标式.

📌【题干】

Question

（2024年新高考I卷）已知 $\cos (\alpha +\beta )=m$，$\tan \alpha \tan \beta =2$，则 $\cos (\alpha -\beta )=$()

A. $-3m$　　　　　　B. $-\frac{m}{3}$　　　　　　C. $\frac{m}{3}$　　　　　　D. $3m$

🔍【思路分析】

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1. 公式展开：首先将目标式 $\cos (\alpha -\beta )$ 和已知式 $\cos (\alpha +\beta )$ 展开为单角的正、余弦乘积形式.
2. 建立联系：利用 $\tan \alpha \tan \beta =2$ 这一条件，将其转化为 $\frac{\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }=2$，从而得到 $\sin \alpha \sin \beta$ 与 $\cos \alpha \cos \beta$ 的数量关系.
3. 整体代换：

• 方案一（代数法）：将比例关系代入 $\cos (\alpha +\beta )$ 的展开式中求出每一项关于 $m$ 的表达，再求 $\cos (\alpha -\beta )$. 方案二（比例法）：构造 $\frac{\cos (\alpha -\beta )}{\cos (\alpha +\beta )}$ 的分式，分子分母同时除以 $\cos \alpha \cos \beta$ 转化为关于 $\tan \alpha \tan \beta$ 的表达式，直接得出倍数关系.

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解法一：整体思想（代数代换）

1. 展开已知条件： $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta =m$ ①

2. 弦切互化： 由 $\tan \alpha \tan \beta =\frac{\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }=2$，得： $\sin \alpha \sin \beta =2\cos \alpha \cos \beta$ ②

3. 代入求项： 将 ② 代入 ① 得：$\cos \alpha \cos \beta -2\cos \alpha \cos \beta =m⟹-\cos \alpha \cos \beta =m$. 故 $\cos \alpha \cos \beta =-m$，$\sin \alpha \sin \beta =-2m$.

4. 计算目标式： $\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta =-m+(-2m)=-3m$. 故选：A.

解法二：化切技（比例构造）

1. 构造比例式： $\frac{\cos (\alpha -\beta )}{\cos (\alpha +\beta )}=\frac{\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }$
2. 转化为正切： 分子分母同时除以 $\cos \alpha \cos \beta$： $\frac{\cos (\alpha -\beta )}{\cos (\alpha +\beta )}=\frac{1+\tan \alpha \tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$
3. 代入求值： 代入 $\tan \alpha \tan \beta =2$： $\frac{\cos (\alpha -\beta )}{m}=\frac{1+2}{1-2}=\frac{3}{-1}=-3$. 所以 $\cos (\alpha -\beta )=-3m$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：两角和（差）的余弦公式逆向及正向变形、同角三角函数商数关系（弦切互化技术）、齐次结构的构造与等价分式放缩。
2. 核心方法：结构化比值消元法与整体块换元法。在三角恒等变换中，处理“已知和差角的某个三角函数值与单角的正切关系，求另一个和差角”的题型时，核心技术在于通过构建比值分式进行“齐次化除法”，一步将所有的弦式组合整体转化为纯切式数值，从而彻底规避逐项求解的具体符号与数值计算，这是一种极具高观点特征的化简特技。
3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（和差公式展开时符号记反）：余弦的和差公式属于“异号异名”结构，即 $\cos (\alpha +\beta )$ 展开中间是减号（ $-$ ）， $\cos (\alpha -\beta )$ 展开中间是加号（ $+$ ）。部分考生在紧张的考场环境下容易惯性将其与正弦公式混淆，导致符号错位。
• 避坑指南 2（化简多项式时漏掉常数倍系数）：在利用解法一计算 $\sin \alpha \sin \beta =2\cos \alpha \cos \beta$ 代入时，注意减法系数的叠加： $1-2=-1$，不要粗心漏掉负号，导致错选为 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自人教A版必修第一册第五章《三角函数》中“两角和与差的余弦公式”以及“简单的三角恒等变换”章节后的探究拓展题。命题组通过将传统的常数数值计算（如设定 $\cos (\alpha +\beta )=\frac{1}{3}$）高度抽象为字母参数 $m$，旨在屏蔽考生的盲目特值带入，纯粹考查考生对三角多项式结构对称性的解构力。
2. 结论推广: 将此类“已知一和差角余弦与切氏乘积，求另一和差角余弦”的模型提炼为一般模型：设已知方程满足 $\cos (\alpha +\beta )=m$ 且 $\tan \alpha \tan \beta =K$（其中 $K\ne 1$）。经过通用齐次分式比值法化简，其对应的差角余弦 $\cos (\alpha -\beta )$ 恒满足极规整的线性倍数对流式：$\cos (\alpha -\beta )=\frac{1+K}{1-K}\cdot m$本题中由于给出 $K=2$，代入本题数据验证： $\cos (\alpha -\beta )=\frac{1+2}{1-2}\cdot m=\frac{3}{-1}\cdot m=-3m$。公式化的几何不变量能。
3. 方法推广: 本题所展现的构造比值分式、分子分母同除以余弦乘积以实现“弦化切（齐次化）”的思想，具有较强的跨章节迁移价值。不仅是高一三角性质客观题的基础题型，未来在高二选择性必修第一册中的“解析几何大题最后一问，求解两条过原点动弦的斜率乘积（ $k_1{k}_2=\tan \alpha \tan \beta$ ）与直线夹角余弦的非线性综合约束”时，其底层的方法——“利用齐次多项式构造分式，通过消去最高次幂实现由弦向切的化归”，其运算本质完全合流。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 全国卷I理-17 解-解三角形
• 1977-北京理-04
• 1977-江苏卷-01(5)