2024-新高考I卷-05 单-圆锥体积

本题导读

本题考查旋转体的表面积与体积计算。核心突破口在于利用圆柱与圆锥侧面积相等的条件，建立关于底面半径 $r$ 的方程，求出半径后再代入圆锥体积公式求解 .

📌【题干】

Question

（2024年新高考I卷）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 $\sqrt{3}$，则该圆锥的体积为()

A. $2\sqrt{3}\pi$　　　　　　　B. $3\sqrt{3}\pi$　　　　　　　C. $6\sqrt{3}\pi$　　　　　　　D. $9\sqrt{3}\pi$

🔍【思路分析】

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1. 设元与表达：设圆柱和圆锥的底面半径均为 $r$，高 $h=\sqrt{3}$.
2. 列出侧面积公式：

• 圆柱侧面积 $S_{柱}=2\pi rh$.

• 圆锥侧面积 $S_{锥}=\pi rl$，其中母线 $l=\sqrt{r^2+h^2}$.

3. 建立等量关系：根据 $S_{柱}=S_{锥}$ 列出关于 $r$ 的方程.
4. 求解半径并算体积：解出 $r$ 后，利用 $V_{锥}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$ 计算结果.

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析圆柱的侧面积 设底面半径为 $r$，高 $h=\sqrt{3}$.

圆柱的侧面积公式为： $S_{柱}=2\pi rh=2\pi \cdot r\cdot \sqrt{3}=2\sqrt{3}\pi r$.

第二步：分析圆锥的侧面积 圆锥的高 $h=\sqrt{3}$，底面半径为 $r$.

根据勾股定理，圆锥的母线长 $l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{r^2+3}$. 圆锥的侧面积公式为： $S_{锥}=\pi rl=\pi r\sqrt{r^2+3}$.

第三步：建立方程求解半径 $r$

已知 $S_{柱}=S_{锥}$，且 $r>0$，则： $2\sqrt{3}\pi r=\pi r\sqrt{r^2+3}$ 消去 $\pi r$ 得： $2\sqrt{3}=\sqrt{r^2+3}$ 两边平方得： $12=r^2+3⟹r^2=9⟹r=3$.

第四步：计算圆锥体积 将 $r=3,h=\sqrt{3}$ 代入体积公式： $V_{锥}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\times \pi \times 3^2\times \sqrt{3}=3\sqrt{3}\pi$.

故选：B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆柱与圆锥侧面积公式的应用、圆锥中“高-半径-母线”直角三角形的同构转化、圆锥体积的代数计算。
2. 核心方法：空间量向代数方程的无损平移法。立体几何旋转体问题中，当涉及多个未知量（如半径、母线）相互牵制时，最标准的破题策略是统一引入核心自变量 $r$，利用基本的几何不变量（如侧面积相等）建立齐次或非线性方程，通过代数运算消去根式。这能将复杂的空间关系完全转化为简单的算术求解。
3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（圆柱侧面积公式漏掉系数 2）：部分学生容易将圆柱的侧面积 $2\pi rh$ 与圆锥的侧面积 $\pi rl$ 在系数上发生混淆，错误地记成 $\pi rh$，导致方程左侧缩水一半，从而错选答案.
• 避坑指南 2（体积计算时漏掉三分之一系数）：在最后一步求解圆锥体积时，部分考生在紧张的考场环境下容易惯性套用圆柱体积公式 $V=\pi r^{2}h$，漏掉了圆锥专属的 $\frac{1}{3}$ 缩放系数，导致算出的结果扩大了 3 倍。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自人教A版必修第二册第八章《立体几何初步》中“空间几何体的表面积与体积”章节后的典型基础习题。命题组通过将圆柱和圆锥两种旋转体进行“同底同高、面积联动”的缝合设计，考查学生对基础几何公式网络交叉覆盖的熟练度，引导教学回归教材、重视基本概念的通达性。
2. 结论推广: （同高同底旋转体表面积与体积的“比例特征网”）：可将此类“底面半径相等、高相等且侧面积相等的圆柱与圆锥”模型提炼为一般模型：设圆柱与圆锥的公共底面半径为 $r$，高为 $h$。由 $2\pi rh=\pi r\sqrt{r^2+h^2}⟹4h^2=r^2+h^2⟹r^2=3h^2$。这一恒等式表明：只要满足同底同高且侧面积相等，其底面半径的平方必定严格等于高的平方的 3 倍（即母线与底面夹角恒为 $30^{\circ }$）。此时，圆锥的体积公式可以同步进行一元高精纯度转化：$V_{\text{锥}}=\frac{1}{3}\pi (3h^2)h=\pi h^3$本题中由于给出 $h=\sqrt{3}$，代入本题数据验证： $V_{\text{锥}}=\pi \times (\sqrt{3}{)}^3=3\sqrt{3}\pi$。公式化的不变量能让您在考场上拥有快速求解的把握.
3. 方法推广: 本题所展现的通过设立核心参数、利用面积关系消除无理根式的思想，具有极强的通性通法特征。不仅是高一立体几何客观题的基础题型，未来当这一代数方程建模推广到选择性必修第一册中的“解析几何圆锥曲线与直线联立求解弦长最值”、或者是导数大题中“通过构建旋转体体积函数求解实际应用题的最值”时，其底层的方法——“抓住未知数的空间几何约束，通过代入完全平方式或消去公因式实现高维向一元的化归”，其运算本质完全合流。掌握这一套方程变形流，是攻克整张卷客观题前段最稳固的核心。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2014-江苏卷-08 填-圆柱的侧面积
• 2014-湖北卷理-08 单-体积公式
• 2013-重庆卷文-08 单-三视图四棱柱表面积