2024-新高考I卷-18 解-函数与导数综合

本题导读

本题是 2024 年新高考Ⅱ卷的终极导数压轴大题。题目融合了抽象几何性质证明（中心对称性）与高难度的代数不等式范围推导。第一问通过求导和最值锁定参数的基本界限；第二问利用解析式的结构特征通过自变量对称平移证明中心对称图形；第三问是全题的核心与难点，要求处理带有“当且仅当”强限制条件的恒成立问题，解题关键在于利用“端点效应”与连续函数的保号性进行必要性范围卡死，再通过导数的因式分解符号分布完成全域单调性的充分性完整论证，对考生的逻辑严密性与代数化简运算能力有极高的选拔性要求.

📌【题干】

Question

（2024年新高考I卷）已知函数 $f(x)=\ln \frac{x}{2-x}+ax+b(x-1{)}^3$.

(1) 若 $b=0$，且 $f^{\prime }(x)⩾0$，求 $a$ 的最小值；

(2) 证明：曲线 $y=f(x)$ 是中心对称图形；

(3) 若 $f(x)>-2$ 当且仅当 $1<x<2$，求 $b$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第(1)问：求出定义域 $(0,2)$，对 $f(x)$ 求导通分得 $f^{\prime }(x)=\frac{2}{x(2-x)}+a$。将 $f^{\prime }(x)⩾0$ 转化为 $a⩾-\frac{2}{x(2-x)}$，利用二次函数性质求出右侧最大值即为 $a$ 的最小值。
2. 第(2)问：根据解析式结构，猜想对称中心为 $(1,a)$。通过验证 $f(1+x)+f(1-x)=2a$ 在 $x\in (-1,1)$ 上恒成立完成证明。
3. 第(3)问：由“当且仅当”可知 $f(x)>-2$ 的解集严格为 $(1,2)$。

• 必要性：利用边界的连续性与保号性，必有 $f(1)=-2$，由此解得 $a=-2$。
• 充分性：将 $a=-2$ 代入并求导，因式分解得 $f^{\prime }(x)=(x-1{)}^2\left[\frac{2}{x(2-x)}+3b\right]$。由于 $(x-1{)}^2⩾0$，导数符号由 $g(x)=\frac{2}{x(2-x)}+3b$ 决定。根据 $g(1)=2+3b$ 的正负分情况讨论，利用连续函数保号性排除不合题意的范围，最终锁定 $b$ 的取值范围

✅【答案】

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(1) $a_{\min }=-2$

(2) 证明见解析

(3) $b\ge -\frac{2}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）第(1)问详解

(1) 求解 $a$ 的最小值

$f(x)$ 的定义域为 $(0,2)$.

（1）当 $b=0$ 时，$f^{\prime }(x)=\frac{2}{x(2-x)}+a$.

因为 $0<x(2-x)⩽1$，所以 $\frac{2}{x(2-x)}⩾2$，等号成立当且仅当 $x=1$.

由题意，$a⩾-\frac{2}{x(2-x)}$，故 $a$ 的最小值为 $-2$.

（2）因为 $f(x)$ 的定义域关于 $1$ 对称，且

$f(x)+f(2-x)=\ln \frac{x}{2-x}+ax+b(x-1{)}^3+\ln \frac{2-x}{x}+a(2-x)+b(1-x{)}^3=2a,$

所以曲线 $y=f(x)$ 是中心对称图形，对称中心为点 $(1,a)$.

（3）令函数 $g(x)=f(x)+2$，依题意 $g(x)>0$ 当且仅当 $1<x<2$，从而 $g(1)⩽0$.

若 $g(1)<0$，因为 $g!\left(\frac{3}{2}\right)>0$，所以存在

$x_0\in \left(1,\frac{3}{2}\right)$，使 $g(x_0)=0$，矛盾，从而 $g(1)=0$，故 $a=-2$.

$f^{\prime }(x)=\frac{2(x-1{)}^2}{x(2-x)}+3b(x-1{)}^2=(x-1{)}^2\left[\frac{2}{x(2-x)}+3b\right].$

若 $b<-\frac{2}{3}$，

当 $x\in \left(1,1+\sqrt{1+\frac{2}{3b}}\right)$ 时，$\frac{2}{x(2-x)}+3b<0$，

从而 $f^{\prime }(x)<0$，

$f(x)$ 在区间 $\left(1,1+\sqrt{1+\frac{2}{3b}}\right)$ 单调递减，不符合题目要求.

若 $b⩾-\frac{2}{3}$，当 $x\in (0,2)$ 时，$\frac{2}{x(2-x)}+3b⩾0$.

从而 $f^{\prime }(x)⩾0$，等号成立当且仅当 $x=1$，

故 $f(x)$ 在区间 $(0,2)$ 单调递增，符合题目要求.

因此 $b$ 的取值范围是 $\left[-\frac{2}{3},+\infty \right)$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复合多项式一阶导数的计算、函数图象中心对称性的严格代数平移论证、带有“当且仅当”强限制逻辑的解集唯一性分离、利用连续函数保号性处理局域单调性崩塌。
2. 核心方法：端点效应必要性截断与导数因式分解流（攻克导数压轴的不二法门）． 作为分值高达 17 分的全卷终极解答题压轴，第三问如果盲目去套用常规的“分离参数法”把 $b$ 孤立出来，会由于对数项与多项式次数交错产生极度臃肿的分式导数，彻底丧失化简方向。破题的最高妙格路是启动“端点必要性隔离”。第一步利用极限两端夹逼，直接快速求解锁定 $a=-2$。第二步通过精密通分，将导数重组为带有完全平方因式 $(x-1{)}^2$ 的同构形态。这种“设参而不离参”的手法，直接将复杂的超越函数符号简化收敛为一元二次方程的零点筛选，思维极度纯粹。
3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（第三问直接由 $f^{\prime }(1)\ge 0$ 粗暴推导导致步骤残缺）：很多基础不错的同学有思维惯性，利用端点效应算到 $g(1)=2+3b\ge 0⟹b\ge -\frac{2}{3}$ 后就直接宣布作答完毕。必须明确：端点效应解出的边界永远只是必要条件！如果没有后续“情况一”中对 $f^{\prime }(x)\ge 0$ 在全区间恒成立、全域严格增函数的充分性反演复核，在严苛的高考主观题阅卷标准中属于“逻辑不自洽”，会被直接扣除 2-3 分的终极步骤分。
• 避坑指南 2（第二问对称性证明忽略定义域复核）：在书写 $f(1+x)+f(1-x)=2a$ 的推导时，前置步骤必须显式声明 $x\in (-1,1)$ 以确保平移自变量仍在定义域 $(0,2)$ 内。缺失这一层数域防御罩，会属于原则性概念盲区。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题底层源自高等数学与数学分析（Mathematical Analysis）中关于**“泰勒级数局部逼近（Taylor Expansion）与连续算子保号性”的核心课题。第三问给出的“当且仅当”约束，在高等数学中是用来精细刻画局部不稳定临界分叉点（Bifurcation Point）**的标准模型。新高考命题组去除了高深的微分拓扑术语，用高一最纯粹的对数分式和高二的单调性语言，将其组装成了一道考查学生“在复杂连续变量空间上进行严密逻辑清洗与区间控制”的传世压轴题。
2. 结论推广: （基于对称中心的“当且仅当型”单调值域通用模型）：

为了丰富您的文献库知识谱系，我们将本题背后那个优美至极的数学圣律进行通用级泛化重构：

• 设函数 $f(x)$ 具备关于点 $(x_0,y_0)$ 的严格中心对称性，且在全域内连续。
• 当题目要求满足强控制逻辑： $f(x)>y_0⟺x_0<x<\text{右边界}$ 时：
• 该系统的绝对结论宣告：函数 $f(x)$ 在中心点 $x_0$ 处的局域形态必须具有排他性的严格单调递增性。
• 其代数临界点必由一阶导数在中心处的非负性完成首轮，即 $f^{\prime }(x_0)\ge 0$。这一高阶网络完美砸穿了本题的底层代数底盘。

3. 方法推广: 本题第（3）问所展现的“先通过局部端点求出必要范围，再利用导数正负完成全域充分性校验”的格路，是攻克整张高考卷最后 17 分终极导数压轴题的“基本保障”。未来当这一代数框架变异为更高级的“结合二阶导数研究超越不等式的凹凸性放缩（如利用 ${\text{e}}^x\ge x+1$ 实施因式抵消）”、或者是探究“函数在多驻点交错状态下的零点分布个数范围”等全卷顶点难题时，其底层的核心逻辑——“利用特殊边界点压缩参数空间，通过因式分解提取完全平方式消除变号干扰，最终利用连续性实施强力筛选”，其运算本质完全合流。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2008-天津卷文-21 解-四次函数极值与恒成立
• 2008-湖北卷理-07
• 2013-新课标I卷理-16 填-函数对称性