2024-甲卷文-07 单-导数的几何意义

本题导读

本题考查导数的几何意义，以及导数的运算法则（商的导数）。

📌【题干】

Question

（2024年甲卷文）设函数 $f(x)=\frac{{\text{e}}^x+2\sin x}{1+x^2}$，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,1)$ 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）

A. $\frac{1}{6}$　　　　　　B. $\frac{1}{3}$　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　D. $\frac{2}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步（求导定斜率）：利用分式商的求导法则 ${\left[\frac{u}{v}\right]}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ 对已知函数进行一阶求导，并将切点横坐标 $x=0$ 代入导函数中，锁定切线的瞬时斜率 $k=f^{\prime }(0)$。
2. 第二步（构建切线方程）：已知切点坐标 $(0,1)$ 以及切线斜率 $k$，直接套用斜截式或点斜式方程，写出切线的标准显式解析式。
3. 第三步（截距消元求面积）：分别令 $x=0$ 和 $y=0$ 破译出直线在两坐标轴上的截距跨度，利用直角三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}|x_{\text{截}}||y_{\text{截}}|$ 快速求解最终。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

这里是详细的推导步骤：

第一步：套用商的求导法则对超越函数进行一阶求导 已知函数为 $f(x)=\frac{{\text{e}}^x+2\sin x}{1+x^2}$。 根据商的求导公式，分子分母分别求导并作代数咬合： $f^{\prime }(x)=\frac{({\text{e}}^x+2\sin x{)}^{\prime }(1+x^2)-({\text{e}}^x+2\sin x)(1+x^2{)}^{\prime }}{(1+x^2{)}^2}$ 代入基础基本导数公式 $({\text{e}}^x{)}^{\prime }={\text{e}}^x$ 且 $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$，展开得： $f^{\prime }(x)=\frac{({\text{e}}^x+2\cos x)(1+x^2)-({\text{e}}^x+2\sin x)(2x)}{(1+x^2{)}^2}$

第二步：将切点横坐标 $x=0$ 代入，求出切线斜率 $k$ $k=f^{\prime }(0)=\frac{({\text{e}}^0+2\cos 0)(1+0^2)-({\text{e}}^0+2\sin 0)(2\times 0)}{(1+0^2{)}^2}$ 代入三角与指数常数 ${\text{e}}^0=1,\cos 0=1,\sin 0=0$ 实施算术化简： $k=\frac{(1+2\times 1)(1)-(1+0)(0)}{1^2}=\frac{3\times 1-0}{1}=3$

第三步：建立切线直线方程并求解坐标轴交点 已知切线过点 $(0,1)$ 且斜率 $k=3$，直接由斜截式方程写出直线方程： $y=3x+1$

• 求 $y$ 轴截距：令 $x=0⟹y=1$，交点坐标为 $(0,1)$；
• 求 $x$ 轴截距：令 $y=0⟹3x+1=0⟹x=-\frac{1}{3}$，交点坐标为 $\left(-\frac{1}{3},0\right)$。

第四步：计算围成的直角三角形面积

该切线与两坐标轴在平面直角坐标系第二象限内截出了一个直角三角形，其两条直角边长分别为其截距的绝对值： $a=|1|=1,b=\left|-\frac{1}{3}\right|=\frac{1}{3}$ 套用三角形面积公式： $S=\frac{1}{2}\times a\times b=\frac{1}{2}\times 1\times \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$

故选：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数几何意义中切线斜率的映射、分式商的求导公式结构控制、直线方程在坐标轴上截距的边长转换。
2. 核心方法：导数点斜式解析几何流。
3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（商的求导公式分子符号记反）：部分考生在紧张状态下容易将分子上的减号记成加号，误写成 $u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$（错套了乘积求导法则），导致算错斜率。牢记：商的求导分子恒为减号，且必须是“分子导乘分母”在前。
• 避坑指南 2（面积计算漏掉前置常数）：在最后一步求直角三角形面积时，个别考生容易因计算仓促直接用 $1\times \frac{1}{3}=\frac{1}{3}$，从而误选 B。落笔前务必复核三角形面积公式中的 $\frac{1}{2}$ 系数防御网。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自人教A版选择性必修第二册第六章《导数及其应用》中“导数的几何意义”与“函数的四则运算求导”章节后的典型基础主观题。高考命题组将其进行初等平面几何化改造后放置在选择题前段，旨在考查高考生对分式求导基本功的掌握情况，属于基础常规题。
2. 结论推广：（基于特征割线的“坐标轴截面三角形面积模型”）：设通用分式超越函数为 $F(x)=\frac{{\text{e}}^x+A\sin x}{1+B{x}^2}$（其中 $A,B$ 为非零常数）。若要求曲线在切点 $(0,1)$ 处的切线与两坐标轴围成的直角三角形面积 $S$：

• 经分式求导及特值代入后，切线的斜率恒刚性满足一阶线性关系： $k=F^{\prime }(0)\equiv 1+A$；
• 此时，该切线直线与两坐标轴的截距分别为 $y_{\text{截}}=1,x_{\text{截}}=-\frac{1}{1+A}$。该系统的终极面积恒刚性服从如下高度齐次同构的公式： $S=\frac{1}{2|1+A|}$
• 本题中由于给出 $A=2$，代入本题数据验证其面积定值： $S=\frac{1}{2\times |1+2|}=\frac{1}{6}$。掌握这一“截距面积网络”，未来在任何模拟考客观题中遇到同构模型，可达成 1 秒免笔快速判断的效果。

3. 方法推广：本题所展现的“通过对超越复合算子进行特值求导锁定局域切线斜率、将几何面积约束转化为坐标轴一阶截距抵消”的思想，具有较强的跨章节迁移价值。不仅是导数开篇题的常用方法，未来在解答题中段的“解析几何大题第一问，利用圆锥曲线（椭圆/双曲线）在定点处的切线方程求解坐标轴筛选三角形的极值范围”、或者是最后一题新定义压轴大题中出现的“空间割线斜率的线性有理化简”时，其核心思路——“抓住核心的导数几何不变量，引入点斜式消除冗余的空间自由度，实现超越图形向静态一元代数分式的化归”，其数形转换的代数变形本质相通。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2014-广东卷理-10 填-切线方程
• 2015-新课标I卷文-14 填-导数切线
• 2006-湖南卷理-13 填-三角形的面积计算