2024-甲卷理-08 单-三角恒等变换

本题导读

本题考查商数关系，以及两角和与差的正切公式。

📌【题干】

Question

（2024年甲卷理）已知 $\frac{\cos \alpha }{\cos \alpha -\sin \alpha }=\sqrt{3}$，则 $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=$（ ）

A. $2\sqrt{3}+1$　　　　　B. $2\sqrt{3}-1$　　　　　C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　D. $1-\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 方法一（齐次化弦化切）：已知分式的分子与分母均为关于 $\sin \alpha$ 和 $\cos \alpha$ 的一次齐次式。分子分母同时除以 $\cos \alpha$ 可转化为关于 $\tan \alpha$ 的方程，解出 $\tan \alpha$ 后代入两角和的正切公式求值。
2. 方法二（整体换元法）：设目标值 $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=x$，利用差角公式可逆向表出 $\tan \alpha =\frac{x-1}{x+1}$。将其直接代入已知条件化简后的方程中，可避免无理数分母有理化的繁琐计算。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

方法一：基于齐次化弦化切的通用代数流

第一步：弦化切变形 已知条件为： $\frac{\cos \alpha }{\cos \alpha -\sin \alpha }=\sqrt{3}$ 当 $\cos \alpha \ne 0$ 时，将分子、分母同时除以 $\cos \alpha$ 得： $\frac{1}{1-\tan \alpha }=\sqrt{3}\dots \dots \text{(1)}$

第二步：求 $\tan \alpha$ 的值 由方程①两边取倒数变形可得： $1-\tan \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}⟹\tan \alpha =1-\frac{\sqrt{3}}{3}\dots \dots \text{(2)}$

第三步：代入正切和角公式 目标求解 $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)$，套用两角和的正切公式并将 $\tan \frac{\pi }{4}=1$ 代入： $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan \alpha +\tan \frac{\pi }{4}}{1-\tan \alpha \cdot \tan \frac{\pi }{4}}=\frac{\tan \alpha +1}{1-\tan \alpha }$

将方程②的 $\tan \alpha =1-\frac{\sqrt{3}}{3}$ 以及由方程①得出的 $1-\tan \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$ 整体代入： $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\left(1-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)+1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{2-\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$

分子分母同时乘以 $3$： $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{6-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

逐项化简有理化： $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{6}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}-1$

方法二：基于目标整体代换的逆向公式流

第一步：引入整体变量 设目标待求值 $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=x$。 根据正切差角公式，可逆向用 $x$ 表达出 $\tan \alpha$： $\tan \alpha =\tan \left[\left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)-\frac{\pi }{4}\right]=\frac{\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)-\tan \frac{\pi }{4}}{1+\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)\cdot \tan \frac{\pi }{4}}=\frac{x-1}{x+1}\dots \dots \text{(3)}$

第二步：代入已知方程求解 由方法一可知，已知条件经弦化切简化后等价于 $\frac{1}{1-\tan \alpha }=\sqrt{3}$。 将方程③的结构整体代入该式中： $\frac{1}{1-\frac{x-1}{x+1}}=\sqrt{3}$

对左侧分母进行通分化简： $\frac{1}{\frac{(x+1)-(x-1)}{x+1}}=\sqrt{3}⟹\frac{x+1}{2}=\sqrt{3}$

去分母并移项： $x+1=2\sqrt{3}⟹x=2\sqrt{3}-1$

即目标值 $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=2\sqrt{3}-1$。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：同角三角函数商数关系的齐次化处理、正切和差角公式的变形应用。
2. 核心方法：齐次式弦化切法、目标角整体代换法。
3. 避坑指南：

• 公式变形错位：在运用正切和角公式时，注意分母符号为减号（ $1-\tan \alpha \tan \beta$ ），切勿与差角公式的符号记混。
• 无理数计算失误：在方法一最后一步化简 $\frac{6-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 时，需注意逐项相除，避免因粗心错算为 $6-1=5$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查三角恒等变换的基础运算，源自教材中关于“两角和与差的正切公式”章节后的综合应用题。
2. 结论推广：对于形如 $\frac{\cos \alpha }{\cos \alpha -\sin \alpha }=M$ （ $M$ 均为常数）的一阶三角齐次分式，要求目标值 $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)$ 的大小，经弦化切与和角公式变形后，其正切值满足固定代数关系： $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=2M-1$ 本题中已知 $M=\sqrt{3}$，代入该关系式可直接得到 $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=2\sqrt{3}-1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 1977-北京理-04
• 1977-江苏卷-01(5)
• 2002-北京卷理-05 单-参数方程与普通方程的互化