2025-上海卷-11 填-三角恒等变换

本题导读

本题是一道结合生活情境的立体几何应用题.考查学生将实际的“影子投影”问题转化为几何模型的能力.核心在于利用平行光的定比性质（太阳高度角），通过构造辅助线将斜面上的投影分解为水平与垂直分量进行求解.

📌【题干】

Question

（2025年上海卷）小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上.某斜面上有两根长为 1 米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为 $A$, $B$，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光；其中一根杆子的影子在水平面上，长度为 0.4 米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为 0.45 米.则斜面的底角 $\underline{}$ .（结果用角度制表示，精确到 $0.01^{\circ }$）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 光线模型：平行光意味着所有光线与地面的夹角（太阳高度角 $\alpha$）是相等的.
2. 确定光线斜率：由第一根杆子（高 1 米，水平影长 0.4 米）可知，光线的垂直高度与水平距离之比为 $\frac{1}{0.4}=2.5$,即 $\tan \alpha =2.5$.
3. 几何建模：第二根杆子的影子在斜面上。设杆子顶端为 $C$，底端为 $B$，影子末端为 $D$。我们需要将斜面影长 $BD=0.45$ 分解为水平位移和垂直高度差.
4. 列方程求解：利用从杆顶 $C$ 到影子末端 $D$ 的光线斜率恒为 2.5 建立关于 $\theta$ 的三角方程.

✅【答案】

点击查看答案

$12.58^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

1. 分析水平面上的投影 设太阳高度角为 $\alpha$. 由第一根杆子（高 $h=1$，水平影长 $L_1=0.4$）得： $\tan \alpha =\frac{1}{0.4}=2.5$ 这意味着对于任何光线，其垂直高度差与水平距离的比值恒为 $2.5$.

2. 分析斜面上的投影（几何建模） 设第二根杆子为 $BC$（$B$ 在斜面上，$C$ 为顶部），其长度 $BC=1$. 影子为 $BD$（$D$ 在斜面上），长度 $BD=0.45$。斜面坡角为 $\theta$. 我们过 $D$ 作水平线的平行线，过 $C$,$B$ 作垂直线，构造直角三角形：

• 影子的水平位移：$DE=BD\cdot \cos \theta =0.45\cos \theta$.

• 影子的垂直高度差：$BE=BD\cdot \sin \theta =0.45\sin \theta$.

• 光线顶端到影子底端的总垂直高度：因为杆子 $BC$ 是垂直立在斜面上的，所以从杆顶 $C$ 到点 $D$ 所在水平面的垂直距离为 $CE=CB+BE=1+0.45\sin \theta$.

3. 列方程求解 根据光线的平行性，从 $C$ 到 $D$ 的光线斜率必须等于 $2.5$： $\frac{\text{垂直总高度}}{\text{水平总位移}}=\frac{CE}{DE}=2.5$ 代入数据： $\frac{1+0.45\sin \theta }{0.45\cos \theta }=2.5$ 整理得： $1+0.45\sin \theta =1.125\cos \theta$ 两边同除以 $2.5$（或整理系数）： $0.45\cos \theta -0.18\sin \theta =0.4$

4. 数值求解 利用辅助角公式或平方关系 ${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$： 设 $x=\sin \theta$，则 $0.45\sqrt{1-x^2}=0.4+0.18x$. 两边平方：0.2025(1 - x^2) = 0.16 + 0.144x + 0.0324x^2$$$$0.2349x^2 + 0.144x - 0.0425 = 0 利用求根公式解得（取正值）： $x=\sin \theta \approx 0.21785$ 通过计算器反三角函数得出： $\theta =\arcsin (0.21785)\approx 12.583^{\circ }$ 精确到 $0.01^{\circ }$ 为 $12.58^{\circ }$.

**故填： $12.58^{\circ }$ **

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 考点归纳：

• 太阳高度角：地理与数学跨学科结合点.

• 反三角函数：掌握 $\arcsin$ 在计算器上的精确使用.

2. 方法总结：

• 建模核心：影子问题的本质是相似三角形或直角三角形性质的应用。关键是找到一个统一的参照系（通常是水平面和垂直面）.

• 计算策略：在处理复杂的三角方程时，辅助角公式 $a\sin \theta +b\cos \theta =\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta +\varphi )$ 往往比平方去根号更稳妥.

3. 避坑指南： 注意杆子是“垂直于水平面”而不是“垂直于斜面”。如果杆子垂直于斜面，则 $CE$ 的表达式会发生变化.

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 结论的推广:

• 若斜面坡度为 $k=\tan \theta$，太阳高度角为 $\alpha$，则斜面影长 $L_{slope}$ 与水平影长 $L_{horiz}$ 的关系为 $L_{slope}=\frac{L_{horiz}\cos \alpha }{\cos (\alpha -\theta )}$（需根据光线方向调整正负号）.

2. 方法的推广:

• 向量法：将光线方向设为向量 $\vec{s}=(1,-2.5)$，斜面方向设为 $\vec{l}=(\cos \theta ,\sin \theta )$，通过向量线性组合求解.

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 11.03 解三角形与解的个数判定

类题演练 (Links)

• 2006-山东卷理-04 单-解三角形
• 2008-四川卷文-07 单-正弦定理倍角条件
• 2008-新课标卷文-17 解-解三角形综合