2026-上海卷-01 填-集合

本题导读

本题考查集合中元素隶属关系的代数运算。核心在于利用元素属于集合的定义建立一元一次方程，并结合集合元素的互异性进行结果检验。

📌【题干】

Question

（2026年上海卷）若集合 $A=\{2,1+a\}$，且 $-1\in A$，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 应用隶属关系：由 $-1\in A$ 可知， $-1$ 必须是集合 $A$ 中的某一个元素。
2. 建立代数方程：由于 $-1\ne 2$，则必然满足 $1-a=-1$。
3. 检验互异性：求出 $a$ 的值后，需带回原集合检验各元素是否满足互异性。

✅【答案】

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-2

✍【详细解析】

Abstract

因为集合 $A=\{2,1-a\}$，且 $-1\in A$， $-1$ 必须等于集合 $A$ 中的某一个元素。 显然 $-1\ne 2$， 所以： $1+a=-1$ 解得： $a=-2$ 检验：当 $a=-2$ 时，$1+a=1+2=3$，此时集合 $A=\{2,3\}$。 集合中的两个元素 $2$ 与 $-1$ 互不相同，满足集合元素的互异性。

故答案为 -2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：元素与集合的关系（$\in$）；集合元素的三大特性（确定性、互异性、无序性）。
2. 核心方法：方程分类讨论与互异性检验。
3. 避坑指南：虽然本题结构较简单，但在解决更复杂的含有字母参数的集合问题时，求出未知数后必须严格将元素代回集合，剔除导致集合内部出现重复元素的非法解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为上海高考数学试卷的第一题，属于全卷的基础起步题，旨在考查高中数学最基本的集合概念。
2. 结论推广：若元素 $x_0\in \{x_1,x_2,\cdots ,x_n\}$，则必有 ${\prod }_{k=1}^n(x_0-x_k)=0$。通过该因式乘积方程，可将离散的元素隶属选择归结为统一的多项式高次方程求解问题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 1999-全国卷理-02 单-映射的象集合元素个数
• 2004-上海卷理-03 填-集合的基本运算
• 2005-湖北卷理-01 单-集合的新定义运算