本题导读
本题考查立体几何中的垂直关系证明与二面角求解。第一问通过底面代数长度满足勾股定理逆定理来证明线线垂直，进而结合高线引出线面垂直；第二问通过四棱锥体积反解出高线长度，利用传统三垂线几何作图或空间直角坐标系法计算平面法向量夹角，精准锁定二面角的大小。
📌【题干】
Question
（2026年上海卷）如图，四棱锥 的底面 为矩形， 底面，点 在 上且 ， ， .
（1）证明： ；
（2）若四棱锥体积 ，求二面角 的大小.
🔍【思路分析】
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- 线线垂直证明：在底面矩形中，通过各边长度算出 ， 。因为 ，得 。结合高线 底面，可得 平面 ，从而证出 。
- 二面角平面角确定：由体积公式反解出 。过 作 于 ，连接 。利用第一问的线面垂直关系可证 ，则 即为二面角 的平面角，在直角三角形中求出其三角函数值即可。
✅【答案】
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(1) 证明见解析 (2) （即 ）
✍【详细解析】
Abstract
（1）证明：
因为四边形 为矩形，且已知 ， 所以底面边长为：
在 中，由于 ： 在 中，由于 ：
在 中： 由于 ，根据勾股定理逆定理可知：
又因为已知 底面 ，且 底面 ，所以： 由于 ，且 平面 ，根据直线与平面垂直的判定定理可得： 因为 平面 ，根据平面垂直的性质定理，最终证得：
（2）若四棱锥体积 ，求二面角 的大小
首先计算底面矩形 的面积： 由四棱锥的体积计算公式满足：
方法一：几何法（三垂线法）
在平面 内，过点 作 于点 ，连接 。 由第（1）问已证结论可知， 平面 ，由于 平面 ，所以 。 因为 ，且 ，所以 平面 。 由于 平面 ，故必有 。 因此， 即为二面角 的平面角。
在 中，由于 ，斜边长为： 根据等体积法，高线 的长度为：
因为 平面 ，且 平面 ，故 。 在 中，计算该角正切值：
所以，二面角 的大小为 。
方法二：空间直角坐标系向量法
以 为坐标原点，射线 方向为 轴正方向，在底面平面内过点 作 的垂线方向为 轴正方向，射线 方向为 轴正方向，建立标准空间直角坐标系 。 各点坐标如下：
则
求平面 的一个法向量 ：
求平面 的一个法向量 ：
设平面 与平面 所成二面角的大小为 ，则：
所以，二面角 的大小为 （等价于 ）。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：平面几何勾股逆定理的应用；线面垂直判定对线线垂直的证明；二面角平面角的几何构造与向量求解。
- 核心方法：三垂线几何角法、空间直角坐标系向量法。
- 避坑指南：采用坐标法建系时，注意点 在棱 上且非特殊顶点，切不可粗心直接将非直角线段 误作坐标轴，必须单独在底面内向外作 的垂线作为 轴。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源： 本题基于非对称底面空间几何体，其核心高阶背景源于空间单形在非对称基底上的正交投影分解问题。
- 结论推广： 本题涉及的第一问线线垂直关系可推广为通用的三垂线射影定理。只要在直棱柱或具有垂直高线的锥体中，底面内的投影线段互相垂直，则其对应的空间斜线与该投影线的异面夹角恒死锁为 ，这一投影不变性在工程机械交线截割设计中具有广泛应用。
🔗【关联脉络】
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