2026-北京卷-10 单-解三角形

本题导读

本题考查动态几何中的连杆机构最值问题。核心在于利用三角不等式将双重动点（$D$ 和 $C$）的几何约束转化为单一空间线段 $AC$ 的连续取值区间（即圆环区域），随后在 $△ABC$ 中套用余弦定理建立目标量 $\cos \angle ABC$ 与线段平方 $A{C}^2$ 的线性函数关系，从而精确求解目标范围。

📌【题干】

Question

（2026年北京卷）平面内 $A,B$ 两点固定， $AB=4$.点 $D$ 在以 $A$ 为圆心、半径 1 的圆上（$AD=1$），点 $C$ 满足 $CD=3,BC=\frac{5}{2}$.则 $\cos \angle ABC$ 的取值范围为()

A. $\left[\frac{5}{16},\frac{73}{80}\right]$　　B. $\left[\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right]$　　C. $\left[\frac{3}{16},\frac{71}{80}\right]$　　D. $\left[\frac{5}{16},\frac{4}{5}\right]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步：锁定动点 $C$ 的可达范围边界：

• 点 $D$ 的轨迹是以 $A$ 为圆心、半径 $R_1=1$ 的圆。
• 点 $C$ 围绕动点 $D$ 旋转，且保持长杆距离 $CD=3$。
• 根据平面三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边的基本几何原理，线段 $AC$ 的长度受制于 $△ADC$。其最值出现于 $A,D,C$ 三点共线时，即 $|CD|-|AD|\le |AC|\le |CD|+|AD|⟹2\le AC\le 4$。几何图形上，点 $C$ 被框定在一个以 $A$ 为圆心、内半径为 2、外半径为 4 的同心圆环区域内。

2. 第二步：在全局三角形中实施关联：

• 将视线移至固定底边的 $△ABC$ 中，已知两定长边 $AB=4,BC=\frac{5}{2}$。
• 目标量为 $\cos \angle ABC$，与其相对的第三边正是动长线段 $AC$。

3. 第三步：函数单调性逆向求解范围：

• 利用余弦定理将 $A{C}^2$ 表达为关于 $\cos \angle ABC$ 的一阶线性复合函数。
• 将第一步求得的代数界限 $A{C}^2\in [4,16]$ 整体代入，利用一元一次不等式组反解出 $\cos \angle ABC$ 的单调边界。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由于点 $D$ 满足 $|AD|=1$，点 $C$ 满足$|CD|=3$。 根据三角形不等式： $||CD|-|AD||\le |AC|\le |CD|+|AD|$ 代入已知数据 $|AD|=1,|CD|=3$： $|3-1|\le |AC|\le 3+1⟹2\le |AC|\le 4$

平方： $4\le A{C}^2\le 16$

记 $\angle ABC=\theta$。 根据余弦定理，对角线 $\theta$ 的对边平方满足： $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \theta$

数值代入该方程中： $A{C}^2=4^2+{\left(\frac{5}{2}\right)}^2-2\times 4\times \frac{5}{2}\times \cos \theta$ $A{C}^2=16+\frac{25}{4}-20\cos \theta$ 化简： $A{C}^2=\frac{89}{4}-20\cos \theta$

代入 $4\le A{C}^2\le 16$ 中： $4\le \frac{89}{4}-20\cos \theta \le 16$

化简得到： $\frac{5}{16}\le \cos \theta \le \frac{73}{80}$

即 $\cos \angle ABC$ 的取值范围为 $\left[\frac{5}{16},\frac{73}{80}\right]$。

故选A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双重动点系统的三角不等式边界坍缩（$|a-b|\le c\le a+b$）；余弦定理在多边形共有边中的代数桥梁作用；一元一次不等式移项及负号翻转变换。
2. 核心方法：几何条件区间化法、函数单调性边界代入法。
3. 避坑指南：

• 盲目设坐标消元：部分学生面对这类多动点问题，喜欢盲目建立空间直角坐标系，设 $D(\cos \alpha ,\sin \alpha )$，再设 $C(x,y)$ 利用两点距离公式强行联立。这样会导致方程产生大量的三角函数嵌套（如出现 $\cos (\alpha -\beta )$ 形式的高维非线性方程），极易由于运算过载而崩溃。
• 忽略不等号翻转：在最后一步除以 $-20$ 时，务必牢记不等号方向翻转，将原大值端点变为新下界，确保区间的“左小右大”标准规范。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是平面向量与解三角形交汇的经典压轴选择/填空题，广泛出现于新高考全国卷及强基计划初试中。
2. 结论推广： 本题在工业精密仪器设计中具有重要的理论支撑，是**“双连杆机械臂工作空间（Workspace of a Two-Link Manipulator）”**的典型数学原型。一般地，第一节臂长为 $L_1$，第二节臂长为 $L_2$，则手部末端 $C$ 的可到达几何边界被物理锁死在以基座为圆心、内径为 $|L_1-L_2|$、外径为 $L_1+L_2$ 的同心圆环区域内。将这一物理空间约束转化为线段距离的闭区间，再代入全局余弦定理，是实现“几何约束 $\to$ 长度区间 $\to$ 目标三角函数”通用求值流程的最优解法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 1992-全国卷理-15
• 2008-安徽卷文-05 单-余弦定理求角
• 2010-福建卷理-21