2026-北京卷-13 填-对数不等式

本题导读

本题考查对数函数性质在声学情境模型中的应用。核心在于利用对数的幂指数运算性质将边界常数统一为常用对数形式，再借由对数函数 $y=\lg x$ 的严格单调递增性，将对数不等式转化为关于频率 $f$ 的一元一次不等式组进行求解。

📌【题干】

Question

（2026年北京卷）声压级 $y$ (单位: $\text{dB}$ 的某刻度) 与频率 $f(\text{Hz})$ 满足 $y=\lg \left(1+\frac{f}{700}\right)$.若 $\lg 2\le y<3\lg 2$，则 $f$ 的取值范围为 $\underline{}$ .

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步：化简边界常数项：利用对数性质 $n\lg a=\lg a^n$，将右侧边界 $3\lg 2$ 恒等变形为 $\lg 2^3=\lg 8$。
2. 第二步：构筑同底对数不等式链：将原不等式组替换改写为以 10 为底的常用对数标准夹逼形态： $\lg 2\le \lg \left(1+\frac{f}{700}\right)<\lg 8$。
3. 第三步：利用单调性脱去对数符号：常用对数函数 $y=\lg x$ 的底数为 $10>1$，在定义域 $(0,+\infty )$ 上严格单调递增。因此，自变量的大小顺序与对数函数值的大小顺序完全一致，直接剥离对数符号得到 $2\le 1+\frac{f}{700}<8$。
4. 第四步：解一元一次不等式组：通过移项减常数、同乘正数运算，解出 $f$ 的最终区间。

✅【答案】

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$[700,4900)$

✍【详细解析】

Abstract

由题意： $\lg 2\le y<3\lg 2$

根据对数的运算性质 $n{\log }_{a}M={\log }_a{M}^n$： $3\lg 2=\lg 2^3=\lg 8$

将 $y=\lg \left(1+\frac{f}{700}\right)$ 代回原不等式链中： $\lg 2\le \lg \left(1+\frac{f}{700}\right)<\lg 8$

因为底数 $10>1$，所以函数 $y=\lg x$ 在 $(0,+\infty )$ 上为严格单调递增函数。

因为 $\lg 2\le \lg \left(1+\frac{f}{700}\right)<\lg 8$，根据单调递增性质，所以： $2\le 1+\frac{f}{700}<8$

解得： $700\le f<4900$

写成标准的区间集合形式，频率 $f$ 的取值范围为 $[700,4900)$。

故答案为： $[700,4900)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数的乘方移幂律（$n\lg a=\lg a^n$）；底数大于 1 的对数不等式单调性脱壳；一元一次线性不等式链的平移缩放。
2. 核心方法：同底数化夹逼法。
3. 避坑指南：

• 乘方运算笔误：在化简 $3\lg 2$ 时，极少数学生容易将其误当成对数相乘或系数相乘，错算为 $\lg (3\times 2)=\lg 6$。必须牢记系数 $n$ 移到对数内部是作为真数的指数，即 $2^3=8$。
• 忽视开闭区间边界：题干左侧为“$\le$”，右侧为“$<$”。在去对数及乘除控算过程中，必须严格保留左闭右开的符号形态，防止填空时错写成开区间 $(700,4900)$ 或全闭区间 $[700,4900]$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是必修第一册“对数函数”单元中典型的对数方程与不等式情境应用题。考查学生剥离物理背景（声压、分贝、频率），将其抽象为标准对数函数模型进行代数控算的基本功。
2. 结论推广： 本题模型 $y=\lg (1+\frac{f}{700})$ 在真实声学与信息工程中具有深厚的科学背景，源于韦伯-费希纳定律（Weber-Fechner law）。人耳对声音响度的实际主观感知，近似与声压的物理绝对值对数成正比（这也是声学计量单位“分贝 $\text{dB}$”采用对数标度的原因）。对数函数的核心工程价值在于：它能够通过单调映射，把跨越数个数量级（如从1到上百万）的剧烈波动的物理量，“压缩”到便于人类肉眼读取和比较的线性等差刻度尺上。类似的对数标度思想广泛运用于化学中的 $\text{pH}$ 值、天文学中的恒星亮度星等、以及计算机科学中的信息熵计算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1986-全国理-18 解-对数不等式的求解
• 1996-全国卷理-20
• 2005-辽宁卷-06 单-对数不等式的解法