2026-天津卷-08 单-一般数列

本题导读

本题考查通用递推数列的项数求解。题目给出前 $n$ 项和的递推关系式 $S_{2n}-S_n=n$。由于未指出该数列为等差或等比数列，核心方法是严格利用 $S_n$ 的通用定义，通过将特殊的 $n$ 值代入递推式列出关于各项的方程组，层层递推剥离出目标项。

📌【题干】

Question

（2026年天津卷）已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$， $S_{2n}-S_n=n$， $a_3=6$，则 $a_7+a_8=$()

A. 68　　　　　　　B. 56　　　　　　　C. -3　　　　　　　D. -4

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步：明确目标代数式的 $S_n$ 表示：根据前 $n$ 项和的定义，目标项 $a_7+a_8$ 可以表示为 $S_8-S_6$。
2. 第二步：利用已知递推式代入特殊 $n$ 值：

• 令 $n=4$，得 $S_8-S_4=4$；
• 令 $n=3$，得 $S_6-S_3=3$；
• 令 $n=2$，得 $S_4-S_2=2$；
• 令 $n=1$，得 $S_2-S_1=1$。

3. 第三步：联立方程组进行代数消元：利用已知条件 $a_3=S_3-S_2=6$，通过上述联立方程组，消去中间项 $S_6,S_4,S_3,S_2$，最终解出 $S_8-S_6$ 的精确数值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

根据前 $n$ 项和与第 $n$ 项的关系，转化为： $a_7+a_8=S_8-S_6$， ①

已知递推式为 $S_{2n}-S_n=n$。我们依次代入不同的正整数 $n$：

• 当 $n=4$ 时： $S_8-S_4=4⟹S_8=S_4+4$， ②
• 当 $n=3$ 时： $S_6-S_3=3⟹S_6=S_3+3$， ③
• 当 $n=2$ 时： $S_4-S_2=2⟹S_4=S_2+2$， ④
• 当 $n=1$ 时： $S_2-S_1=1⟹S_2=S_1+1$， ⑤

将④式代入②式中，可将 $S_8$ 用 $S_2$ 表达： $S_8=(S_2+2)+4=S_2+6$， ⑥

此时将⑥式和③式同时代入目标表达式①中： $a_7+a_8=S_8-S_6=(S_2+6)-(S_3+3)=S_2-S_3+3$， $=-(S_3-S_2)+3$， ⑦

根据前 $n$ 项和公式， $S_3-S_2$ 的即为数列的第 3 项 $a_3$： $S_3-S_2=a_3$ 已知 $a_3=6$，将其整体代入⑦式中： $a_7+a_8=-6+3=-3$

故选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：前 $n$ 项和的差分性质（$S_n-S_{n-1}=a_n$）；利用特殊项进行方程组的整体代换消元。
2. 核心方法：特殊值递推法、整体代换法。
3. 避坑指南：主观臆断数列类型。本题属于非标准递推数列，很多学生由于惯性思维会误认为 $\{a_n\}$ 是等差数列从而盲目套用求和公式，导致运算步入死胡同。只要牢牢抓住 $S_n$ 的基本定义，采用“要哪项就代哪个 $n$”的策略，就能直接实现代数消元。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为选择题常规压轴题（第 8 题），重点考查新教材选择性必修第二册中“数列”模块的逻辑推理与代数控算基本功。
2. 结论推广：对于满足通用关系式 $S_{2n}-S_n=f(n)$ 的任意数列，若要求解第 $2^k$ 级别的项组合，可通过构筑指数级标号步长进行链式消元。本题中 $a_{2k+1}+\cdots +a_{2k+2m}$ 的项数差值，在结构上可统一泛化为以 2 为底数的对数标号跨越，其本质是离散动态规划（Dynamic Programming）中一维状态转移方程的基本应用。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 1990-全国卷理-21 解-等差等比数列综合
• 2006-湖北卷理-02 单-方程组的解法与检验
• 2008-重庆卷理-22