2026-天津卷-16 解-三角函数的性质

本题导读

本题考查正弦型三角函数的图象与性质。第一问直接通过周期公式求解；第二问采用整体换元法确定复合角的范围，结合正弦函数的单调性求解闭区间上的最值；第三问利用同角三角函数的平方关系求出余弦值，再展开两角和的正弦公式代入计算。

📌【题干】

Question

（2026年天津卷） 已知函数 $f(x)=\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的最小正周期；

(2) 求函数 $f(x)$ 在 $\left[-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{12}\right]$ 上 的最大值与最小值；

(3) 若 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$， $\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$，求 $f(\alpha )$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：根据正弦型函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的最小正周期公式 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$ 直接计算。
2. 第二问：利用整体换元思想，由 $x\in \left[-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{12}\right]$ 逐步推导复合角 $t=2x+\frac{\pi }{6}$ 的取值范围，再根据正弦函数 $y=\sin t$ 在该范围内的单调性与边界值确定最值。
3. 第三问：

• 由 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 和 $\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$，利用 $\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }$ 求出 $\cos \alpha$。
• 使用二倍角公式求出 $\sin 2\alpha$ 与 $\cos 2\alpha$。
• 利用两角和的正弦公式将 $f(\alpha )=\sin \left(2\alpha +\frac{\pi }{6}\right)$ 展开为 $\sin 2\alpha \cos \frac{\pi }{6}+\cos 2\alpha \sin \frac{\pi }{6}$，代入已知数值求解。

✅【答案】

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(1) $\pi$ (2) 最大值 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，最小值 $-\frac{1}{2}$ (3) $\frac{2\sqrt{6}+1}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求函数 $f(x)$ 的最小正周期 因为 $f(x)=\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$，其角速度 $\omega =2$， 所以函数 $f(x)$ 的最小正周期为： $T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{2}=\pi$

(2) 求函数 $f(x)$ 在 $\left[-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{12}\right]$ 上的最大值与最小值 因为 $x\in \left[-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{12}\right]$， 所以 $-\frac{\pi }{3}\le 2x\le \frac{\pi }{6}$， 两边同时加上 $\frac{\pi }{6}$ 得： $-\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{6}\le 2x+\frac{\pi }{6}\le \frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{6}⟹-\frac{\pi }{6}\le 2x+\frac{\pi }{6}\le \frac{\pi }{3}$

令 $t=2x+\frac{\pi }{6}$，由于 $t\in \left[-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}\right]$，且正弦函数 $y=\sin t$ 在 $\left[-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}\right]$ 上单调递增，

• 当 $t=\frac{\pi }{3}$ 时， $f(x)$ 取得最大值： $f(x{)}_{\max }=\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
• 当 $t=-\frac{\pi }{6}$ 时， $f(x)$ 取得最小值： $f(x{)}_{\min }=\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$

(3) 若 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$， $\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$，求 $f(\alpha )$ 因为 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，所以 $\cos \alpha >0$。 根据同角三角函数平方关系得： $\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

利用倍角公式求出 $2\alpha$ 的正弦与余弦值： $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\times \frac{\sqrt{3}}{3}\times \frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{2\sqrt{18}}{9}=\frac{2\times 3\sqrt{2}}{9}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$ $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =1-2\times {\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$

将 $x=\alpha$ 代入函数解析式并展开： $f(\alpha )=\sin \left(2\alpha +\frac{\pi }{6}\right)=\sin 2\alpha \cos \frac{\pi }{6}+\cos 2\alpha \sin \frac{\pi }{6}$ 将 $\sin 2\alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}$， $\cos 2\alpha =\frac{1}{3}$， $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$， $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$ 代入上式得： $f(\alpha )=\frac{2\sqrt{2}}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{3}+\frac{1}{6}=\frac{2\sqrt{6}+1}{6}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦型函数的周期通式；整体换元控制有界闭区间的最值范围；倍角公式与和差角公式的综合控算。
2. 核心方法：整体代换法、两角和的公式展开法。
3. 避坑指南：第二问求解最值时必须严格按照“先乘后加”的顺序平移自变量边界，切勿混淆单调性直接代入原端点；第三问算完 $\sin 2\alpha$ 与 $\cos 2\alpha$ 后，展开和差角公式时要注意分母通分与根号化简的准确性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于高考天津卷解答题的第一道基础大题（第 16 题），全面考查必修第二册中三角函数图象性质与三角恒等变换核心公式的直接对接。
2. 结论推广：对于任意已知单角 $\alpha$ 的某一三角函数值，要求解复合正弦型函数 $y=A\sin (2\alpha +\phi )$ 的值，其标准的代数运算流向均为： $\text{单角 }\alpha \stackrel{\text{同角平方关系}}{\to }\text{双单角组合}\stackrel{\text{二倍角公式}}{\to }(\sin 2\alpha ,\cos 2\alpha )\stackrel{\text{两角和展开}}{\to }f(\alpha )$ 此流程不依赖于角度 $\alpha$ 的具体大小，是处理三角代数求值问题的普适化标准解法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2003-北京卷理-15
• 2010-福建卷理-14
• 2012-重庆卷理-13