13.08 墙面体的性质

🟦 墙面体的性质

（1）底面 $△ABC$ 为锐角三角形；

（2）顶点 $P$ 在底面上的投影 $H$ 恰为 $△ABC$ 的垂心；

（3）设墙角 $P$ 到底面的距离为 $h$，墙角的三侧棱长分别为 $a,b,c$，则有： $\frac{1}{h^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$

（4）由均值不等式可得： $abc\ge 3\sqrt{3}{h}^3$

（5）设三个侧面和底面的面积分别为 $S_{△ABP},S_{△BCP},S_{△CAP},S_{△ABC}$，

则： $S_{△ABP}^2+S_{△BCP}^2+S_{△CAP}^2=S_{△ABC}^2$

（6）设侧面与底面所成的二面角分别为 $\alpha ,\beta ,\gamma$，

则： ${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1$

${\sin }^2\alpha +{\sin }^2\beta +{\sin }^2\gamma =2$

（7）若点 $Q$ 为底面 $ABC$ 内任意一点，设 $\angle APQ=\alpha ,\angle BPQ=\beta ,\angle CPQ=\gamma$， 则有： ${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1$

（8）设侧棱 $PA,PB,PC$ 与底面 $ABC$ 所成角为 ${\alpha }^{\prime },{\beta }^{\prime },{\gamma }^{\prime }$，

则： ${\sin }^2{\alpha }^{\prime }+{\sin }^2{\beta }^{\prime }+{\sin }^2{\gamma }^{\prime }=1$

（9）若点 $Q$ 为底面 $ABC$ 内任意一点，设 $PQ$ 与平面 $PAC$ 所成角为 $\alpha$，与平面 $PBC$ 所成角为 $\beta$，与平面 $PAB$ 所成角为 $\gamma$，

则： ${\sin }^2{\alpha }^{\prime \prime }+{\sin }^2{\beta }^{\prime \prime }+{\sin }^2{\gamma }^{\prime \prime }=1$

（10）设墙角体底面 $△ABC$ 内一点 $M$ 到各侧面的距离分别为 $h_1,h_2,h_3$，则点 $M$ 到顶点 $P$ 的距离： $d=\sqrt{h_1^2+h_2^2+h_3^2}$