18.10 齐次化与斜率和积

🟦 齐次化与斜率和积

第一类 点$P(x_0,y_0)$在圆锥曲线上

1. 椭圆篇

椭圆 $C:\frac{{\mathbf{x}}^2}{{\mathbf{a}}^2}+\frac{{\mathbf{y}}^2}{{\mathbf{b}}^2}=1(\mathbf{a}>\mathbf{b}>0)$，$P(x_0,y_0)$ 为定点，$A,B$ 为椭圆上动点。

(1) 若 ${\mathbf{k}}_{\mathbf{PA}}+{\mathbf{k}}_{\mathbf{PB}}=\mathbf{\lambda }(\mathbf{\lambda }\ne 0)$，则直线 $AB$ 过定点： $\left({\mathbf{x}}_0-\frac{2{\mathbf{y}}_0}{\mathbf{\lambda }},-{\mathbf{y}}_0-\frac{2{\mathbf{x}}_0{\mathbf{b}}^2}{\mathbf{\lambda }{\mathbf{a}}^2}\right)$

(2) 若 ${\mathbf{k}}_{\mathbf{PA}}+{\mathbf{k}}_{\mathbf{PB}}=0$，则直线 $AB$ 斜率为定值： ${\mathbf{k}}_{\mathbf{AB}}=\frac{{\mathbf{x}}_0{\mathbf{b}}^2}{{\mathbf{y}}_0{\mathbf{a}}^2}$

(3) 若 ${\mathbf{k}}_{\mathbf{PA}}\cdot {\mathbf{k}}_{\mathbf{PB}}=\mathbf{\lambda }\left(\mathbf{\lambda }\ne \frac{{\mathbf{b}}^2}{{\mathbf{a}}^2}\right)$，则直线 $AB$ 过定点：

$\left(\frac{\mathbf{\lambda }{\mathbf{a}}^2+{\mathbf{b}}^2}{\mathbf{\lambda }{\mathbf{a}}^2-{\mathbf{b}}^2}{\mathbf{x}}_0,-\frac{\mathbf{\lambda }{\mathbf{a}}^2+{\mathbf{b}}^2}{\mathbf{\lambda }{\mathbf{a}}^2-{\mathbf{b}}^2}{\mathbf{y}}_0\right)$

(4) 若 ${\mathbf{k}}_{\mathbf{PA}}\cdot {\mathbf{k}}_{\mathbf{PB}}=\frac{{\mathbf{b}}^2}{{\mathbf{a}}^2}$，则直线 $AB$ 斜率为定值： ${\mathbf{k}}_{\mathbf{AB}}=-\frac{{\mathbf{y}}_0}{{\mathbf{x}}_0}$

(5) 若直线 $AB$ 过原点，则： ${\mathbf{k}}_{\mathbf{PA}}\cdot {\mathbf{k}}_{\mathbf{PB}}=-\frac{{\mathbf{b}}^2}{{\mathbf{a}}^2}$（第三定义）

2. 双曲线篇

双曲线 $\frac{{\mathbf{x}}^2}{{\mathbf{a}}^2}-\frac{{\mathbf{y}}^2}{{\mathbf{b}}^2}=1$，$P(x_0,y_0)$ 为其上一点，$A,B$ 为双曲线上动点。 (1) 若 ${\mathbf{k}}_{\mathbf{PA}}+{\mathbf{k}}_{\mathbf{PB}}=\mathbf{\lambda }(\mathbf{\lambda }\ne 0)$，直线 $AB$ 恒过定点： $\left({\mathbf{a}}^2{\mathbf{x}}_0-\frac{2{\mathbf{a}}^2{\mathbf{y}}_0}{\mathbf{\lambda }},-{\mathbf{a}}^2{\mathbf{y}}_0+\frac{2{\mathbf{b}}^2{\mathbf{x}}_0}{\mathbf{\lambda }}\right)$

(2) 若 ${\mathbf{k}}_{\mathbf{PA}}+{\mathbf{k}}_{\mathbf{PB}}=0$，直线 $AB$ 斜率为定值： ${\mathbf{k}}_{\mathbf{AB}}=-\frac{{\mathbf{x}}_0{\mathbf{b}}^2}{{\mathbf{y}}_0{\mathbf{a}}^2}$

(3) 若 ${\mathbf{k}}_{\mathbf{PA}}\cdot {\mathbf{k}}_{\mathbf{PB}}=\mathbf{\lambda }\left(\mathbf{\lambda }\ne -\frac{{\mathbf{b}}^2}{{\mathbf{a}}^2}\right)$，直线 $AB$ 恒过定点： $\left(\frac{\mathbf{\lambda }{\mathbf{a}}^2-{\mathbf{b}}^2}{\mathbf{\lambda }{\mathbf{a}}^2+{\mathbf{b}}^2}{\mathbf{x}}_0,-\frac{\mathbf{\lambda }{\mathbf{a}}^2-{\mathbf{b}}^2}{\mathbf{\lambda }{\mathbf{a}}^2+{\mathbf{b}}^2}{\mathbf{y}}_0\right)$

(4) 若 ${\mathbf{k}}_{\mathbf{PA}}\cdot {\mathbf{k}}_{\mathbf{PB}}=-\frac{{\mathbf{b}}^2}{{\mathbf{a}}^2}$，直线 $AB$ 斜率为定值： ${\mathbf{k}}_{\mathbf{AB}}=\frac{{\mathbf{y}}_0}{{\mathbf{x}}_0}$

(5) 若直线 $AB$ 过原点，则： ${\mathbf{k}}_{\mathbf{PA}}\cdot {\mathbf{k}}_{\mathbf{PB}}=\frac{{\mathbf{b}}^2}{{\mathbf{a}}^2}$（双曲线第三定义）

3. 抛物线篇

（${\mathbf{y}}^2=2\mathbf{px}$） 过 $P(x_0,y_0)$ 引弦 $PA,PB$，$A,B$ 在抛物线上。

(1) 若 ${\mathbf{k}}_{\mathbf{PA}}\cdot {\mathbf{k}}_{\mathbf{PB}}=\mathbf{\lambda }(\mathbf{\lambda }\ne 0)$，$AB$ 过定点： $\left({\mathbf{x}}_0-\frac{2\mathbf{p}}{\mathbf{\lambda }},-{\mathbf{y}}_0\right)$

(2) 若 ${\mathbf{k}}_{\mathbf{PA}}+{\mathbf{k}}_{\mathbf{PB}}=\mathbf{\lambda }(\mathbf{\lambda }\ne 0)$，$AB$ 过定点： $\left({\mathbf{x}}_0-\frac{2{\mathbf{y}}_0}{\mathbf{\lambda }},\frac{2\mathbf{p}}{\mathbf{\lambda }}-{\mathbf{y}}_0\right)$

(3) 若 ${\mathbf{k}}_{\mathbf{PA}}+{\mathbf{k}}_{\mathbf{PB}}=0$，$AB$ 斜率为定值： ${\mathbf{k}}_{\mathbf{AB}}=-\frac{\mathbf{p}}{{\mathbf{y}}_0}$

第二类

点$\mathbf{P}({\mathbf{x}}_0,{\mathbf{y}}_0)$在圆锥曲线外 1. 角平分线定理

(1) 椭圆 & 双曲线

椭圆 $C:\frac{{\mathbf{x}}^2}{{\mathbf{a}}^2}+\frac{{\mathbf{y}}^2}{{\mathbf{b}}^2}=1$，对称轴上两点 $M,N$ 不在曲线上，满足

${\mathbf{x}}_{\mathbf{M}}\cdot {\mathbf{x}}_{\mathbf{N}}={\mathbf{a}}^2\text{或}{\mathbf{y}}_{\mathbf{M}}\cdot {\mathbf{y}}_{\mathbf{N}}={\mathbf{b}}^2$

过 $M$ 任作直线交曲线于 $A,B$，则 $MN$ 平分 $\angle ANB$，即 ${\mathbf{k}}_{\mathbf{AN}}+{\mathbf{k}}_{\mathbf{BN}}=0$ 双曲线有完全相同性质。

(2) 抛物线等角定理

抛物线 ${\mathbf{y}}^2=2\mathbf{px}$，对称轴上关于顶点对称的两点 $M,N$； 过 $M$ 任作直线交抛物线于 $A,B$，则 $MN$ 平分 $\angle ANB$，即 ${\mathbf{k}}_{\mathbf{AN}}+{\mathbf{k}}_{\mathbf{BN}}=0$

2. 原点为公共顶点的斜率问题（椭圆）

椭圆 $\frac{{\mathbf{x}}^2}{{\mathbf{a}}^2}+\frac{{\mathbf{y}}^2}{{\mathbf{b}}^2}=1(\mathbf{a}>\mathbf{b}>0)$，$O$ 为原点，动点 $A,B$ 满足 $\mathbf{OA}\perp \mathbf{OB}$， 则原点到直线 $AB$ 的距离 $d=|OH|$ 为定值： $\frac{1}{{\mathbf{d}}^2}=\frac{1}{{\mathbf{a}}^2}+\frac{1}{{\mathbf{b}}^2}$

椭圆等比斜率结论

椭圆 $\frac{{\mathbf{x}}^2}{{\mathbf{a}}^2}+\frac{{\mathbf{y}}^2}{{\mathbf{b}}^2}=1(\mathbf{a}>\mathbf{b}>0)$，$O$ 为原点，$A,B$ 为椭圆上动点， 若 ${\mathbf{k}}_{\mathbf{OA}},{\mathbf{k}}_{\mathbf{AB}},{\mathbf{k}}_{\mathbf{OB}}$ 成等比数列，则： ${\mathbf{k}}_{\mathbf{AB}}=\pm \frac{\mathbf{b}}{\mathbf{a}},|\mathbf{OA}{|}^2+|\mathbf{OB}{|}^2={\mathbf{a}}^2+{\mathbf{b}}^2$

3. 斜率等差模型 椭圆/双曲线

$\frac{{\mathbf{x}}^2}{{\mathbf{a}}^2}\pm \frac{{\mathbf{y}}^2}{{\mathbf{b}}^2}=1$ 直线 $AB$ 交曲线于 $A,B$，交 $x$ 轴于 $M(m,0)$，交 $y$ 轴于 $N(0,n)$，$M,N$ 非顶点。

(1) 若点 $P$ 在直线 $\mathbf{x}=\frac{{\mathbf{a}}^2}{\mathbf{m}}$ 上，则： ${\mathbf{k}}_{\mathbf{PA}}+{\mathbf{k}}_{\mathbf{PB}}=2{\mathbf{k}}_{\mathbf{PM}}$

(2) 若点 $Q$ 在直线 $\mathbf{y}=\frac{{\mathbf{b}}^2}{\mathbf{n}}$ 上，则： $\frac{1}{{\mathbf{k}}_{\mathbf{QA}}}+\frac{1}{{\mathbf{k}}_{\mathbf{QB}}}=\frac{2}{{\mathbf{k}}_{\mathbf{QN}}}$

(3) 抛物线 ${\mathbf{y}}^2=2\mathbf{px}$，直线 $AB$ 交 $x$ 轴于 $M(m,0)$，$P$ 在 $\mathbf{x}=-\mathbf{m}$ 上，则： ${\mathbf{k}}_{\mathbf{PA}}+{\mathbf{k}}_{\mathbf{PB}}=2{\mathbf{k}}_{\mathbf{PM}}$

(4) 抛物线 ${\mathbf{x}}^2=2\mathbf{py}$，直线 $AB$ 交 $y$ 轴于 $N(0,n)$，$P$ 在 $\mathbf{y}=-\mathbf{n}$ 上，则： $\frac{1}{{\mathbf{k}}_{\mathbf{PA}}}+\frac{1}{{\mathbf{k}}_{\mathbf{PB}}}=\frac{2}{{\mathbf{k}}_{\mathbf{PN}}}$

第三类 隐藏的斜率问题

1. 隐藏的斜率之积

椭圆左顶点为 $A$，直线 $AP,AQ$ 交椭圆于 $P,Q$，且 $PQ$ 过 $x$ 轴定点 $D(m,0)$； 延长 $AP,AQ$ 交直线 $\mathbf{x}=\mathbf{n}$ 于 $M,N$，以 $MN$ 为直径作圆，圆与 $x$ 轴交于两定点 $T_1,T_2$。

核心推导

斜率之积定值： ${\mathbf{k}}_{\mathbf{PA}}\cdot {\mathbf{k}}_{\mathbf{QA}}=\frac{{\mathbf{b}}^2(\mathbf{m}-\mathbf{a})}{{\mathbf{a}}^2(\mathbf{m}+\mathbf{a})}$

由 $k_{AP}\cdot k_{AQ}=k_{AM}\cdot k_{AN}$，

得： $\frac{y_M}{n+a}\cdot \frac{y_N}{n+a}=\frac{b^2(m-a)}{a^2(m+a)}⟹{\mathbf{y}}_{\mathbf{M}}{\mathbf{y}}_{\mathbf{N}}=\frac{{\mathbf{b}}^2(\mathbf{m}-\mathbf{a})}{{\mathbf{a}}^2(\mathbf{m}+\mathbf{a})}\cdot (\mathbf{n}+\mathbf{a}{)}^2$

圆在 $x$ 轴上定点偏移量： $\mathbf{\Delta }\mathbf{x}=\frac{\mathbf{b}|\mathbf{n}+\mathbf{a}|}{\mathbf{a}}\sqrt{\frac{\mathbf{m}-\mathbf{a}}{\mathbf{m}+\mathbf{a}}}$

圆恒过定点： ${\mathbf{T}}_1(\mathbf{n}-\mathbf{\Delta }\mathbf{x},0),{\mathbf{T}}_2(\mathbf{n}+\mathbf{\Delta }\mathbf{x},0)$

2. 隐藏的斜率之比

$A,B$ 为椭圆长轴顶点，直线 $MN$ 交椭圆于 $M,N$，交长轴于 $P(m,0)$，则 $\frac{{\mathbf{k}}_{\mathbf{AM}}}{{\mathbf{k}}_{\mathbf{BN}}}=\text{定值}$

反之，若该比值为定值，则 $MN$ 过定点 $P(m,0)$。

3. 隐藏的轴点弦与斜率和积关系

(1) 椭圆 $\frac{{\mathbf{x}}^2}{{\mathbf{a}}^2}+\frac{{\mathbf{y}}^2}{{\mathbf{b}}^2}=1(\mathbf{a}>\mathbf{b}>0)$，右顶点 $P(a,0)$，弦 $AB$ 过定点 $M(a+t,0)$，

则 ${\mathbf{k}}_{\mathbf{PA}}\cdot {\mathbf{k}}_{\mathbf{PB}}=\frac{{\mathbf{b}}^2(\mathbf{t}+2\mathbf{a})}{{\mathbf{a}}^2\mathbf{t}}=\text{定值}$

(2) 椭圆上顶点 $P(0,b)$，弦 $AB$ 过定点 $M(0,b+t)$，则 ${\mathbf{k}}_{\mathbf{PA}}\cdot {\mathbf{k}}_{\mathbf{PB}}=-\frac{2{\mathbf{b}}^2}{\mathbf{at}}=\text{定值}$

(3) 椭圆 $\frac{{\mathbf{x}}^2}{{\mathbf{a}}^2}+\frac{{\mathbf{y}}^2}{{\mathbf{b}}^2}=1$，右顶点 $P(a,0)$，弦 $AB$ 过定点 $\mathbf{M}(\mathbf{a},\mathbf{t})$，则： ${\mathbf{k}}_{\mathbf{PA}}+{\mathbf{k}}_{\mathbf{PB}}=-\frac{2{\mathbf{b}}^2}{\mathbf{at}}=\text{定值}$

(4) 椭圆上顶点 $P(0,b)$，弦 $AB$ 过定点 $\mathbf{M}(\mathbf{t},\mathbf{b})$，则： $\frac{1}{{\mathbf{k}}_{\mathbf{PA}}}+\frac{1}{{\mathbf{k}}_{\mathbf{PB}}}=-\frac{2{\mathbf{a}}^2}{\mathbf{bt}}=\text{定值}$

斜率和积定值规律总结

1. 顶点 $P$ 在椭圆**$x$ 轴顶点**：

• 弦 $AB$ 平移后过**$x$ 轴定点** $⟹{\mathbf{k}}_{\mathbf{PA}}\cdot {\mathbf{k}}_{\mathbf{PB}}$ 为定值
• 弦 $AB$ 平移后过**$y$ 轴定点** $⟹{\mathbf{k}}_{\mathbf{PA}}+{\mathbf{k}}_{\mathbf{PB}}$ 为定值

2. 顶点 $P$ 在椭圆**$y$ 轴顶点**： - 对应取斜率倒数和为定值

完整规律 + 记忆口诀

(2) $y$轴顶点对应规律 顶点 $P$ 为椭圆 $y$ 轴顶点：

• 弦平移后过 $\mathbf{x}$ 轴定点 $⟹$ 斜率倒数和 $\frac{1}{{\mathbf{k}}_{\mathbf{PA}}}+\frac{1}{{\mathbf{k}}_{\mathbf{PB}}}$ 为定值

• 弦平移前后均过 $\mathbf{y}$ 轴定点 $⟹$ 斜率之积 ${\mathbf{k}}_{\mathbf{PA}}\cdot {\mathbf{k}}_{\mathbf{PB}}$ 为定值

核心口诀：

同积异和

• 轴点弦与角顶点在同一坐标轴 $⟹$ 斜率之积为定值
• 轴点弦与角顶点在不同坐标轴 $⟹$ 斜率和 / 倒数和为定值