18.12 曲线系

🟦 曲线系

曲线系方程定义

若两条曲线方程为 $f_1(x,y)=0$,$f_2(x,y)=0$，交点为 $P_i(x_i,y_i)$，则 ${\mathbf{f}}_1(\mathbf{x},\mathbf{y})+\mathbf{\lambda }{\mathbf{f}}_2(\mathbf{x},\mathbf{y})=0$ 表示过所有交点的高次曲线，称为曲线系方程（$\lambda$ 为任意常数）。

1. 圆锥曲线与两相交直线构成的圆系方程（四点共圆）

四点共圆判定

圆锥曲线 $f_1(x,y)=A{x}^2+B{y}^2+Dx+Ey+F=0$ 上四点 $P,Q,M,N$， 直线 $PQ,MN$ 交于 $T$，满足 $|\mathbf{TM}|\cdot |\mathbf{TN}|=|\mathbf{TP}|\cdot |\mathbf{TQ}|$，则四点共圆。

曲线系方程

$\mathbf{A}{\mathbf{x}}^2+\mathbf{B}{\mathbf{y}}^2+\mathbf{Dx}+\mathbf{Ey}+\mathbf{F}+\mathbf{\lambda }({\mathbf{k}}_1\mathbf{x}-\mathbf{y}+{\mathbf{m}}_1)({\mathbf{k}}_2\mathbf{x}-\mathbf{y}+{\mathbf{m}}_2)=0$ 或 $\mathbf{A}{\mathbf{x}}^2+\mathbf{B}{\mathbf{y}}^2+\mathbf{Dx}+\mathbf{Ey}+\mathbf{F}+\mathbf{\lambda }({\mathbf{k}}_1\mathbf{x}-\mathbf{y}+{\mathbf{m}}_1)({\mathbf{k}}_2\mathbf{x}-\mathbf{y}+{\mathbf{m}}_2)=\mathbf{\mu }({\mathbf{x}}^2+{\mathbf{y}}^2+{\mathbf{D}}_1\mathbf{x}+{\mathbf{E}}_1\mathbf{y}+{\mathbf{F}}_1)$

斜率性质

方程无 $xy$ 项，故 $-{\mathbf{k}}_1-{\mathbf{k}}_2=0$，即 $PQ$ 与 $MN$ 斜率互为相反数。

定理

圆锥曲线内接四边形四点共圆 $⟺$ 一组对边倾斜角互补。 方程可写为： $\mathbf{A}{\mathbf{x}}^2+\mathbf{B}{\mathbf{y}}^2+\mathbf{Dx}+\mathbf{Ey}+\mathbf{F}+\mathbf{\lambda }(\mathbf{kx}-\mathbf{y}+{\mathbf{m}}_1)(-\mathbf{kx}-\mathbf{y}+{\mathbf{m}}_2)=0$ 满足 $\mathbf{A}-\mathbf{\lambda }{\mathbf{k}}^2=\mathbf{B}+\mathbf{\lambda }$ 时，方程表示圆。

推论

若四点斜率互为相反数，且 $PQ$ 是 $MN$ 中垂线，则 ${\mathbf{k}}_{\mathbf{MN}}=\pm 1$。

2. 两条相交直线上四点构成圆锥曲线（四点定椭）

四点定椭·曲线系模型构造

通用形式

${\mathbf{f}}_1(\mathbf{x},\mathbf{y})+\mathbf{\lambda }{\mathbf{f}}_2(\mathbf{x},\mathbf{y})=\mathbf{\mu }{\mathbf{f}}_3(\mathbf{x},\mathbf{y})$

模型背景

椭圆 $\frac{{\mathbf{x}}^2}{{\mathbf{a}}^2}+\frac{{\mathbf{y}}^2}{{\mathbf{b}}^2}=1(\mathbf{a}>\mathbf{b}>0)$，$A,B$ 为左右顶点，$M,N$ 为椭圆上动点； $MN$ 交 $x$ 轴于 $Q$，$AM\cap BN=P$； $A,M,B,N$ 四点确定椭圆（双曲线、抛物线同理）。

曲线选取

1. 内部交点二次曲线： 直线 $AB:y=0$，直线 $MN:x-ky-m=0$ ${\mathbf{f}}_1(\mathbf{x},\mathbf{y})=\mathbf{y}\cdot (\mathbf{x}-\mathbf{ky}-\mathbf{m})=0$

2. 外部交点二次曲线： 直线 $AM:x-k_{1}y+a=0$，直线 $BN:x-k_{2}y-a=0$ ${\mathbf{f}}_2(\mathbf{x},\mathbf{y})=(\mathbf{x}-{\mathbf{k}}_1\mathbf{y}+\mathbf{a})(\mathbf{x}-{\mathbf{k}}_2\mathbf{y}-\mathbf{a})=0$

3. 目标椭圆曲线： ${\mathbf{f}}_3(\mathbf{x},\mathbf{y})=\frac{{\mathbf{x}}^2}{{\mathbf{a}}^2}+\frac{{\mathbf{y}}^2}{{\mathbf{b}}^2}-1=0$ 最终曲线系方程 $\mathbf{y}(\mathbf{x}-\mathbf{ky}-\mathbf{m})+\mathbf{\lambda }(\mathbf{x}-{\mathbf{k}}_1\mathbf{y}+\mathbf{a})(\mathbf{x}-{\mathbf{k}}_2\mathbf{y}-\mathbf{a})=\mathbf{\mu }\left(\frac{{\mathbf{x}}^2}{{\mathbf{a}}^2}+\frac{{\mathbf{y}}^2}{{\mathbf{b}}^2}-1\right)$

核心结论与技巧

1. 最终指向极点极线性质：${\mathbf{x}}_{\mathbf{P}}{\mathbf{x}}_{\mathbf{Q}}={\mathbf{a}}^2$

2. 解题只需对比系数定参数，无需展开求 $\lambda ,\mu$

3. $k,k_1,k_2$ 为斜率的倒数，非斜率本身