18.13 同构方程

🟦 同构方程

1. 抛物线两点式方程引起的同构式

抛物线上三点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$，轮换对称得到三条弦的两点式方程，结构完全相同，仅变量字母不同，称为同构式： $\{\begin{array}{l}AB:(y_1+y_2)y=2px+y_1{y}_2\\ AC:(y_1+y_3)y=2px+y_1{y}_3\\ BC:(y_2+y_3)y=2px+y_2{y}_3\end{array}$

(1) 抛物线内圆的切线构成的内接三角形同构原理 $PA、PB$ 满足三个等价条件：

(1) 过定点 $P(x_0,y_0)$；

(2) 与圆 $C$ 相切；

(3) 为抛物线的弦。 $PA,PB$ 可分别表示为 $f(x_1,y_1)=0,f(x_2,y_2)=0$，直线 $AB$ 对应 $f(x,y)=0$。

同构核心：利用抛物线两点式方程，构造形式一致的 $f(x_i,y_i)=0$，实现整体代换。

(2) 彭塞列闭合定理

设 $A_1,A_2,A_3$ 为圆锥曲线 $C$ 上三点， 若直线 $A_1{A}_2$,$A_1{A}_3$ 均与圆 $M$ 相切， 则直线 ${\mathbf{A}}_2{\mathbf{A}}_3$ 也与圆 $M$ 相切。

2. 抛物线平行等位线引起的同构式

类型一：

抛物线 ${\mathbf{y}}^2=2\mathbf{px}$ 抛物线上四点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3),D(x_4,y_4)$， $AD\cap BC=P(x_0,y_0)$，且 $AB\parallel CD$，$\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{PD},\overrightarrow{BP}=\lambda \overrightarrow{PC}$，则：

1. 斜率：${\mathbf{k}}_{\mathbf{AB}}={\mathbf{k}}_{\mathbf{CD}}=\frac{\mathbf{p}}{{\mathbf{y}}_0}$

2. 纵坐标和：${\mathbf{y}}_1+{\mathbf{y}}_2={\mathbf{y}}_3+{\mathbf{y}}_4=2{\mathbf{y}}_0$

3. 纵坐标积： ${\mathbf{y}}_1{\mathbf{y}}_2=(1+\mathbf{\lambda }){\mathbf{y}}_0^2-2\mathbf{\lambda p}{\mathbf{x}}_0,{\mathbf{y}}_3{\mathbf{y}}_4=\left(1+\frac{1}{\mathbf{\lambda }}\right){\mathbf{y}}_0^2-\frac{2\mathbf{p}{\mathbf{x}}_0}{\mathbf{\lambda }}$

类型二：

抛物线 ${\mathbf{x}}^2=2\mathbf{py}$ 抛物线上四点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3),D(x_4,y_4)$， $AD\cap BC=P(x_0,y_0)$，且 $AB\parallel CD$，$\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{PD},\overrightarrow{BP}=\lambda \overrightarrow{PC}$，则：

1. 斜率：${\mathbf{k}}_{\mathbf{AB}}={\mathbf{k}}_{\mathbf{CD}}=\frac{{\mathbf{x}}_0}{\mathbf{p}}$

2. 横坐标和：${\mathbf{x}}_1+{\mathbf{x}}_2={\mathbf{x}}_3+{\mathbf{x}}_4=2{\mathbf{x}}_0$

3. 横坐标积： ${\mathbf{x}}_1{\mathbf{x}}_2=(1+\mathbf{\lambda }){\mathbf{x}}_0^2-2\mathbf{\lambda p}{\mathbf{y}}_0,{\mathbf{x}}_3{\mathbf{x}}_4=\left(1+\frac{1}{\mathbf{\lambda }}\right){\mathbf{x}}_0^2-\frac{2\mathbf{p}{\mathbf{y}}_0}{\mathbf{\lambda }}$

3. 椭圆切线夹（蒙日圆）一般情形

问题

过椭圆 $\frac{{\mathbf{x}}^2}{{\mathbf{a}}^2}+\frac{{\mathbf{y}}^2}{{\mathbf{b}}^2}=1(\mathbf{a}>\mathbf{b}>0)$ 外一点 $P(x_0,y_0)$ 作两条切线，切点为 $A、B$，若 ${\mathbf{k}}_{\mathbf{PA}}\cdot {\mathbf{k}}_{\mathbf{PB}}=\mathbf{\lambda }$，求点 $P$ 的轨迹。

解题核心（同构+韦达定理）

1. 设过 $P$ 的切线斜率为 $k$，切线方程：$y-y_0=k(x-x_0)$，与椭圆联立；

2. 由直线与椭圆相切 $⟺$ 判别式 $\Delta =0$，整理得到关于 $k$ 的一元二次方程： $\mathbf{a}{\mathbf{k}}^2+\mathbf{bk}+\mathbf{c}=0$

3. $k_{PA},k_{PB}$ 是该方程的两根，满足 ${\mathbf{k}}_{\mathbf{PA}}\cdot {\mathbf{k}}_{\mathbf{PB}}=\mathbf{\lambda }$；

4. 利用韦达定理：两根之积 $=\frac{c}{a}=\lambda$，化简得到 $P(x_0,y_0)$ 满足的轨迹方程。 > 本质：切线斜率 $k_{PA},k_{PB}$ 满足同构方程，直接用韦达定理整体代换，无需分别求切点。

椭圆切线夹（蒙日圆）完整推导与分类

联立切线方程

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\ y=kx+m\end{array}\Rightarrow (a^2{k}^2+b^2)x^2+2km{a}^{2}x+a^2(m^2-b^2)=0$ 由相切 $\mathbf{\Delta }=0$，得： ${\mathbf{a}}^2{\mathbf{k}}^2+{\mathbf{b}}^2-{\mathbf{m}}^2=0\cdots \cdots (1)$ 将 $\mathbf{m}={\mathbf{y}}_0-\mathbf{k}{\mathbf{x}}_0$ 代入(1)，整理得关于斜率 $k$ 的一元二次方程： $({\mathbf{a}}^2-{\mathbf{x}}_0^2){\mathbf{k}}^2+2{\mathbf{x}}_0{\mathbf{y}}_0\mathbf{k}+{\mathbf{b}}^2-{\mathbf{y}}_0^2=0\cdots \cdots (2)$ $k_{PA},k_{PB}$ 为方程(2)两根，设为 $k_1,k_2$，由韦达定理： $k_1\cdot k_2=\frac{b^2-y_0^2}{a^2-x_0^2}=\lambda$ 整理得轨迹方程： $\mathbf{\lambda }{\mathbf{x}}_0^2-{\mathbf{y}}_0^2=\mathbf{\lambda }{\mathbf{a}}^2-{\mathbf{b}}^2$

按$\mathbf{\lambda }$取值分类

1. $\mathbf{\lambda }<-1$：轨迹为焦点在$y$轴上的椭圆

2. $\mathbf{\lambda }=-1$：轨迹为圆 ${\mathbf{x}}^2+{\mathbf{y}}^2={\mathbf{a}}^2+{\mathbf{b}}^2$，即蒙日圆

3. $\mathbf{\lambda }\in (-1,0)$：轨迹为焦点在$x$轴上的椭圆

4. $\mathbf{\lambda }\in \left(0,\frac{{\mathbf{b}}^2}{{\mathbf{a}}^2}\right)$：轨迹为焦点在$y$轴上的双曲线

5. $\mathbf{\lambda }=\frac{{\mathbf{b}}^2}{{\mathbf{a}}^2}$：轨迹为斜率为$\pm \frac{\mathbf{b}}{\mathbf{a}}$的射线 6. $\mathbf{\lambda }>\frac{{\mathbf{b}}^2}{{\mathbf{a}}^2}$：轨迹为焦点在$x$轴上的双曲线

4. 由内准圆引起的斜率同构

已知 $M(x_0,y_0)$ 是椭圆 $\frac{{\mathbf{x}}^2}{{\mathbf{a}}^2}+\frac{{\mathbf{y}}^2}{{\mathbf{b}}^2}=1(\mathbf{a}>\mathbf{b}>0)$ 上一点， 过原点 $O$ 作圆 $M:(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=r^2$ 的两条切线，切点为 $A、B$，切线交椭圆于 $P、Q$， 记 $k_{OP}=k_1,k_{OQ}=k_2$，则以下三个条件等价：

(1) 内准圆半径：${\mathbf{r}}^2=\frac{{\mathbf{a}}^2{\mathbf{b}}^2}{{\mathbf{a}}^2+{\mathbf{b}}^2}$

(2) 斜率之积：${\mathbf{k}}_1{\mathbf{k}}_2=-\frac{{\mathbf{b}}^2}{{\mathbf{a}}^2}$

(3) 切点距离平方和：$|\mathbf{OA}{|}^2+|\mathbf{OB}{|}^2={\mathbf{a}}^2+{\mathbf{b}}^2$

5. 斜率和积为定值的切线同构（与齐次化同源）

核心思路

联立直线方程，解出交点用斜率参数表示，代入圆锥曲线方程，构造关于斜率的同构二次方程，利用韦达定理求 $k_1+k_2$,$k_1{k}_2$。

方法一：

直线与直线联立 $\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ y=k_1(x-x_0)+y_0\end{array}$ 解出交点，用 $k_1,k,m$ 表示，代入圆锥曲线，得到关于 $k_1$ 的二次方程； $k_2$ 满足同构方程，用韦达定理求解。

方法二：

直线与椭圆联立 $\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\ y=k_1(x-x_0)+y_0\end{array}$ 联立得到 $x_1+x_0$，解出 $x_1,y_1$，代入直线 $y=kx+m$，得到关于 $k_1$ 的二次方程； $k_2$ 满足同构方程，用韦达定理求解。

口诀 联二代三，同构定系！

6. 同解同构方程

题型一：

点式同解同构方程 若一条直线 $l$ 上两点既在曲线 $C_1$ 上，又在曲线 $C_2$ 上， 联立分别得到关于 $x_1,x_2$ 的两个方程： $\{\begin{array}{l}{a}_1{x}^2+b_{1}x+c_1=0(1)\\ a_2{x}^2+b_{2}x+c_2=0(2)\end{array}$ 则(1)(2)为同解方程，对比系数得： $\frac{{\mathbf{a}}_1}{{\mathbf{a}}_2}=\frac{{\mathbf{b}}_1}{{\mathbf{b}}_2}=\frac{{\mathbf{c}}_1}{{\mathbf{c}}_2}$ 多用于解决外接圆问题。

题型二：

斜率同解同构 同解同构可分为坐标点同解同构与斜率同解同构； 斜率同解同构：两直线分别交两曲线于不同点，利用两直线斜率 $k_1,k_2$ 两次构造，形成同解同构方程。