18.14 三角代换

🟦 三角代换

1. 椭圆双曲线的三角代换与两点式方程

（1）椭圆

$\frac{{\mathbf{x}}^2}{{\mathbf{a}}^2}+\frac{{\mathbf{y}}^2}{{\mathbf{b}}^2}=1(\mathbf{a}>\mathbf{b}>0)$ 三角换元： $\{\begin{array}{l}x=a\cos \alpha \\ y=b\sin \alpha \end{array}$ $\alpha$ 为参数，不代表倾斜角。

（2）椭圆

$\frac{{\mathbf{x}}^2}{{\mathbf{b}}^2}+\frac{{\mathbf{y}}^2}{{\mathbf{a}}^2}=1(\mathbf{a}>\mathbf{b}>0)$ 三角换元： $\{\begin{array}{l}x=b\cos \alpha \\ y=a\sin \alpha \end{array}$ $\alpha$ 为参数，不代表倾斜角。

（3）齐次化半角模型

设 $A(a\cos {\theta }_1,b\sin {\theta }_1),B(a\cos {\theta }_2,b\sin {\theta }_2)$，由万能公式： $\{\begin{array}{l}{x}_1=a\cos {\theta }_1=a\cdot \frac{1-t_1^2}{1+t_1^2}\\ y_1=b\sin {\theta }_1=b\cdot \frac{2t_1}{1+t_1^2}\end{array},\{\begin{array}{l}{x}_2=a\cos {\theta }_2=a\cdot \frac{1-t_2^2}{1+t_2^2}\\ y_2=b\sin {\theta }_2=b\cdot \frac{2t_2}{1+t_2^2}\end{array}$

（4）椭圆三角两点式方程

$A\left(a\frac{1-t_1^2}{1+t_1^2},b\frac{2t_1}{1+t_1^2}\right),B\left(a\frac{1-t_2^2}{1+t_2^2},b\frac{2t_2}{1+t_2^2}\right)$ 直线 $AB$： $\mathbf{ay}({\mathbf{t}}_1+{\mathbf{t}}_2)-\mathbf{bx}({\mathbf{t}}_1{\mathbf{t}}_2-1)=\mathbf{ab}({\mathbf{t}}_1{\mathbf{t}}_2+1)$ -

双曲线三角换元

（1）$\frac{{\mathbf{x}}^2}{{\mathbf{a}}^2}-\frac{{\mathbf{y}}^2}{{\mathbf{b}}^2}=1(\mathbf{a}>0,\mathbf{b}>0)$ $\{\begin{array}{l}x=\frac{a}{\cos \alpha }\\ y=b\tan \alpha \end{array}$

（2）$\frac{{\mathbf{y}}^2}{{\mathbf{a}}^2}-\frac{{\mathbf{x}}^2}{{\mathbf{b}}^2}=1(\mathbf{a}>0,\mathbf{b}>0)$ $\{\begin{array}{l}x=b\tan \alpha \\ y=\frac{a}{\cos \alpha }\end{array}$

（3）参数点形式

由 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，设 $A\left(\frac{a}{\cos {\theta }_1},b\tan {\theta }_1\right),B\left(\frac{a}{\cos {\theta }_2},b\tan {\theta }_2\right)$

双曲线半角参数形式 & 两点式方程

1. 半角万能代换

设 $t_1=\tan \frac{{\theta }_1}{2},t_2=\tan \frac{{\theta }_2}{2}$，则： $\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{a}{\cos {\theta }_1}=a\cdot \frac{1+t_1^2}{1-t_1^2}\\ y_1=b\tan {\theta }_1=b\cdot \frac{2t_1}{1-t_1^2}\end{array},\{\begin{array}{l}{x}_2=\frac{a}{\cos {\theta }_2}=a\cdot \frac{1+t_2^2}{1-t_2^2}\\ y_2=b\tan {\theta }_2=b\cdot \frac{2t_2}{1-t_2^2}\end{array}$

2. 双曲线三角两点式方程

由点斜式整理得： $\mathbf{ay}({\mathbf{t}}_1+{\mathbf{t}}_2)-\mathbf{bx}({\mathbf{t}}_1{\mathbf{t}}_2+1)=\mathbf{ab}({\mathbf{t}}_1{\mathbf{t}}_2-1)$

3. 与椭圆对比规律

• 椭圆：$\mathbf{ay}({\mathbf{t}}_1+{\mathbf{t}}_2)-\mathbf{bx}({\mathbf{t}}_1{\mathbf{t}}_2-1)=\mathbf{ab}({\mathbf{t}}_1{\mathbf{t}}_2+1)$

• 双曲线：$\mathbf{ay}({\mathbf{t}}_1+{\mathbf{t}}_2)-\mathbf{bx}({\mathbf{t}}_1{\mathbf{t}}_2+1)=\mathbf{ab}({\mathbf{t}}_1{\mathbf{t}}_2-1)$ 本质：$t_1{t}_2+1$ 与 $t_1{t}_2-1$ 互换；椭圆含减号，双曲线对应位置为加号。

双曲线半角参数形式 & 两点式方程

1. 半角万能代换

设 $t_1=\tan \frac{{\theta }_1}{2},t_2=\tan \frac{{\theta }_2}{2}$，则： $\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{a}{\cos {\theta }_1}=a\cdot \frac{1+t_1^2}{1-t_1^2}\\ y_1=b\tan {\theta }_1=b\cdot \frac{2t_1}{1-t_1^2}\end{array},\{\begin{array}{l}{x}_2=\frac{a}{\cos {\theta }_2}=a\cdot \frac{1+t_2^2}{1-t_2^2}\\ y_2=b\tan {\theta }_2=b\cdot \frac{2t_2}{1-t_2^2}\end{array}$

2. 双曲线三角两点式方程

由点斜式整理得： $\mathbf{ay}({\mathbf{t}}_1+{\mathbf{t}}_2)-\mathbf{bx}({\mathbf{t}}_1{\mathbf{t}}_2+1)=\mathbf{ab}({\mathbf{t}}_1{\mathbf{t}}_2-1)$

3. 与椭圆对比规律

• 椭圆：$\mathbf{ay}({\mathbf{t}}_1+{\mathbf{t}}_2)-\mathbf{bx}({\mathbf{t}}_1{\mathbf{t}}_2-1)=\mathbf{ab}({\mathbf{t}}_1{\mathbf{t}}_2+1)$

• 双曲线：$\mathbf{ay}({\mathbf{t}}_1+{\mathbf{t}}_2)-\mathbf{bx}({\mathbf{t}}_1{\mathbf{t}}_2+1)=\mathbf{ab}({\mathbf{t}}_1{\mathbf{t}}_2-1)$

• 本质：$t_1{t}_2+1$ 与 $t_1{t}_2-1$ 互换；椭圆含减号，双曲线对应位置为加号。