19.08 奇偶数列

🟦 奇偶数列

1. 跳跃数列与分段求和

(1) 跳跃等差数列 定义：满足 ${\mathbf{a}}_{\mathbf{n}+2}-{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}=\mathbf{d}$ 的数列$\{a_n\}$，$a_{n+2}$与$a_n$不连续。

(1) 分奇偶讨论法 - 当 $n$ 为奇数时，令 $n=2k-1(k\in {\mathbb{N}}^{\ast })$，得 $k=\frac{n+1}{2}$ $a_n=a_{2k-1}=a_1+(k-1)d=a_1+\frac{n-1}{2}d$ - 当 $n$ 为偶数时，令 $n=2k(k\in {\mathbb{N}}^{\ast })$，得 $k=\frac{n}{2}$ $a_n=a_{2k}=a_2+(k-1)d=a_2+\frac{n-2}{2}d$ 综上： ${\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}=\{\begin{array}{ll}{a}_1+\frac{n-1}{2}d& (n\text{为奇数})\\ a_2+\frac{n-2}{2}d& (n\text{为偶数})\end{array}$

(2) 待定系数法 设 ${\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}=\mathbf{xn}+\mathbf{y}+\mathbf{z}(-1{)}^{\mathbf{n}}$，其中 $x=\frac{d}{2}$，代入 $n=1,n=2$ 可确定 $y,z$。

(2) 跳跃等差数列变形：${\mathbf{a}}_{\mathbf{n}+1}+{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}=\mathbf{f}(\mathbf{n})$ 若 $a_n+a_{n+1}=An+B$，则 $a_{n-1}+a_n=A(n-1)+B$，两式相减得： $a_{n+1}-a_{n-1}=A$ 即隔项为等差数列，公差为$A$： ${\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}=\{\begin{array}{ll}{a}_1+A\left(\frac{n+1}{2}-1\right)& n\text{为奇数}\\ a_2+A\left(\frac{n}{2}-1\right)& n\text{为偶数}\end{array}$

3. 跳跃等比数列 定义：满足 $\frac{{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}+2}}{{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}}=\mathbf{q}$ 的数列$\{a_n\}$，$a_{n+2}$与$a_n$不连续。 分奇偶讨论法 - 当 $n$ 为奇数时，令 $n=2k-1$，$k=\frac{n+1}{2}$ $a_n=a_1\cdot q^{k-1}=a_1\cdot q^{\frac{n-1}{2}}$ - 当 $n$ 为偶数时，令 $n=2k$，$k=\frac{n}{2}$ $a_n=a_2\cdot q^{k-1}=a_2\cdot q^{\frac{n-2}{2}}$ 综上： ${\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}=\{\begin{array}{ll}{a}_1\cdot q^{\frac{n-1}{2}}& n\text{为奇数}\\ a_2\cdot q^{\frac{n-2}{2}}& n\text{为偶数}\end{array}$

(4) 跳跃等比数列变形：${\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}+1}={\mathbf{q}}^{\mathbf{n}}$ 由 $a_n{a}_{n+1}=q^n,a_{n-1}{a}_n=q^{n-1}$，两式相除得： $\frac{{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}+1}}{{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}-1}}=\mathbf{q}$ 故$\{a_n\}$为跳跃等比数列。跳跃等比数列通项 公比为$q$，则 ${\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}=\{\begin{array}{ll}{a}_1\cdot q^{\frac{n-1}{2}}& ,n\text{为奇数}\\ a_2\cdot q^{\frac{n}{2}-1}& ,n\text{为偶数}\end{array}$

2. 递推中含有隔项规律的数列求和 定理

若$\{a_n\}$满足${\mathbf{a}}_{\mathbf{n}+1}+(-1{)}^{\mathbf{n}}{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}=\mathbf{An}+\mathbf{B}$，$S_n$为前$n$项和，则 ${\mathbf{S}}_4,{\mathbf{S}}_8-{\mathbf{S}}_4,{\mathbf{S}}_{12}-{\mathbf{S}}_8,\cdots$成等差数列，公差为$8\mathbf{A}$。 证明 $\{\begin{array}{l}{a}_2-a_1=A+B(1)\\ a_3+a_2=2A+B(2)\\ a_4-a_3=3A+B(3)\end{array}$ $2\times (2)-(1)+(3)$ 得：${\mathbf{a}}_1+{\mathbf{a}}_2+{\mathbf{a}}_3+{\mathbf{a}}_4=6\mathbf{A}+2\mathbf{B}$。 同理 $\{\begin{array}{l}{a}_6-a_5=5A+B(4)\\ a_7+a_6=6A+B(5)\\ a_8-a_7=7A+B(6)\end{array}$ $2\times (5)-(4)+(6)$ 得：${\mathbf{a}}_5+{\mathbf{a}}_6+{\mathbf{a}}_7+{\mathbf{a}}_8=14\mathbf{A}+2\mathbf{B}$。 故$S_4,S_8-S_4,S_{12}-S_8,\cdots$是以$6A+2B$为首项，$8A$为公差的等差数列； 解题可每4项整体运算，含周期的数列可列举找规律。

3. 二阶等差数列的前$n$项和公式

若$\{a_n\}$的一阶差数列成等差数列，则$\{a_n\}$为二阶等差数列。 记 $d_1=a_2-a_1$，二阶公差 $d_2=(a_3-a_2)-(a_2-a_1)$。

通项公式 ${\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}={\mathbf{a}}_1+(\mathbf{n}-1){\mathbf{d}}_1+\frac{(\mathbf{n}-1)(\mathbf{n}-2)}{2}{\mathbf{d}}_2$ 简便形式：设 ${\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}=\frac{{\mathbf{d}}_2}{2}{\mathbf{n}}^2+\mathbf{bn}+\mathbf{c}$，代入$a_1,a_2$待定系数求$b,c$。

前$n$项和公式 ${\mathbf{S}}_{\mathbf{n}}=\mathbf{n}{\mathbf{a}}_1+\frac{\mathbf{n}(\mathbf{n}-1)}{2!}{\mathbf{d}}_1+\frac{\mathbf{n}(\mathbf{n}-1)(\mathbf{n}-2)}{3!}{\mathbf{d}}_2$