2007-上海卷理-01 填-对数函数性质

本题导读

本题考查有理复合函数定义域的求解，需同时满足对数真数严格大于零及分式分母不为零的限制条件。

📌【题干】

Question

（2007年上海卷(理)） 函数 $f(x)=\frac{\lg (4-x)}{x-3}$ 的定义域是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 确保对数式有意义：真数部分满足 $4-x>0$．

2. 确保分式有意义：分母部分满足 $x-3\ne 0$．

✅【答案】

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$(-\infty ,3)\cup (3,4)$

✍【详细解析】

Abstract

根据函数有意义的条件，自变量 $x$ 必须满足不等式组： $\{\begin{array}{l}4-x>0\\ x-3\ne 0\end{array}$ 解得 $x<4$ 且 $x\ne 3$． 用区间表示为 $(-\infty ,3)\cup (3,4)$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数定义域的代数约束，对数函数与分式函数的定义域交集。

2. 核心方法：不等式组联立求解法。

3. 避坑指南：容易只关注对数真数而忽略分母不能为 0 的限制，导致漏掉挖去点 $x=3$。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题属于基础概念题，源于教材中关于常见初等函数定义域基本限制条件的融合训练。

5. 结论推广：求各类复合函数的定义域时，必须将所有初等运算约束（如分母不为零、偶次根式下非负、对数真数大于零等）完全列出并求交集。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷理-01 单-集合交集