2007-上海卷理-10 填-射影几何充分条件

本题导读

本题考查空间直线的位置关系及其在平面上正射影的几何特征。利用共面直线在平行平面或交面上射影的一致性，通过逆否或排除逻辑构造出异面直线的充分条件。

📌【题干】

Question

（2007年上海卷(理)） 在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种。已知 $\alpha ,\beta$ 是两个相交平面，空间两条直线 $l_1,l_2$ 在 $\alpha$ 上的射影是直线 $s_1,s_2$，$l_1,l_2$ 在 $\beta$ 上的射影是直线 $t_1,t_2$。用 $s_1$ 与 $s_2$，$t_1$ 与 $t_2$ 的位置关系，写出一个总能确定 $l_1$ 与 $l_2$ 是异面直线的充分条件：$\underline{}$。

🔍【思路分析】

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1. 反面考查：若 $l_1$ 与 $l_2$ 共面（平行或相交），分析其射影特征。

2. 逻辑锁定：若 $l_1\parallel l_2$，则其在任意平面上的射影必平行或重合；若 $l_1,l_2$ 相交，则其在任意平面上的射影必相交或重合。从而通过交叉组合平行与相交关系即可打破共面前提。

✅【答案】

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$s_1\parallel s_2$ 且 $t_1$ 与 $t_2$ 相交（或：$s_1$ 与 $s_2$ 相交且 $t_1\parallel t_2$）

✍【详细解析】

Abstract

假设 $l_1$ 与 $l_2$ 属于共面直线： ① 若 $l_1\parallel l_2$（或重合），则它们在平面 $\alpha$ 和 $\beta$ 上的射影必满足 $s_1\parallel s_2$（或重合）且 $t_1\parallel t_2$（或重合）； ② 若 $l_1$ 与 $l_2$ 相交，则它们的交点在平面 $\alpha$ 和 $\beta$ 上的射影也是各自射影直线的交点，故 $s_1,s_2$ 必相交（或重合）且 $t_1,t_2$ 必相交（或重合）． 由此可知，若同时满足“$s_1\parallel s_2$ 且 $t_1$ 与 $t_2$ 相交”，则 $l_1$ 与 $l_2$ 既不可能平行，也不可能相交，因此 $l_1$ 与 $l_2$ 必为异面直线． 同理，“$s_1$ 与 $s_2$ 相交且 $t_1\parallel t_2$” 亦为有效充分条件．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：异面直线的判定定理，射影几何的基本投影规律。

2. 核心方法：逆否命题分析法。

3. 避坑指南：必须注意“充分条件”的答案不唯一，只需确保所填写的条件能绝对推出两条直线异面即可；表述时需规范指明哪两对直线满足何种特定位置关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于立体几何大纲中关于空间两条直线位置关系拓扑特性的深层辨析，考查学生逻辑推演的完备性。

5. 结论推广：空间两直线的几何关系与其在两个相交平面上的射影对具有一一映射关系。当且仅当两对射影的几何交叉性质不相容时，原空间直线必然异面。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷理-12 单-数列单调性