2007-上海卷理-15 单-命题逻辑递推性

本题导读

本题考查数学归纳法的核心逻辑内涵。通过对新递推条件的抽象表述，辨析数学归纳法中“奠基”与“递推”的对应关系及单向流动的几何方向。

📌【题干】

Question

（2007年上海卷(理)） 设 $f(x)$ 是定义在正整数集上的函数，且 $f(x)$ 满足：“当 $f(k)\ge k^2$ 成立时，总可推出 $f(k+1)\ge (k+1{)}^2$ 成立”。那么，下列命题总成立的是()

A. 若 $f(3)\ge 9$ 成立，则当 $k\ge 1$ 时，均有 $f(k)\ge k^2$ 成立

B. 若 $f(5)\ge 25$ 成立，则当 $k\le 5$ 时，均有 $f(k)\ge k^2$ 成立

C. 若 $f(7)<49$ 成立，则当 $k\ge 8$ 时，均有 $f(k)<k^2$ 成立

D. 若 $f(4)=25$ 成立，则当 $k\ge 4$ 时，均有 $f(k)\ge k^2$ 成立

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解归纳核心：已知条件给出了数学归纳法中的第二步（递推步），即命题对 $k$ 成立可推出对 $k+1$ 成立。

2. 验证归纳奠基：寻找一个明确的初始基准点（第一步），若该点成立，则命题在自变量递增（即 $n\ge \text{基准点}$）的方向上全面成立。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

根据数学归纳法原理，已知的递推关系具有单向顺推性质：只要某个起始正整数 $n_0$ 满足 $f(n_0)\ge n_0^2$，则对所有 $k\ge n_0$ 的正整数，该不等式链均被激活成立．

对于 A 选项：已知 $f(3)\ge 9=3^2$ 成立，只能向后单向顺推得出当 $k\ge 3$ 时不等式成立，无法向前判定 $k=1,2$ 时的真伪，故 A 错误； 对于 B 选项：由 $f(5)\ge 25=5^2$ 成立，同理只能推出 $k\ge 5$ 时成立，不能反向逆推得到 $k\le 5$ 时的状态，故 B 错误； 对于 C 选项：已知条件“若 $f(k)\ge k^2$，则 $f(k+1)\ge (k+1{)}^2$”的逆否命题为：“若 $f(k+1)<(k+1{)}^2$，则 $f(k)<k^2$”．这说明不成立性是向自变量减小的方向（向前）递推的．已知 $f(7)<49=7^2$，可以向前推出当 $k\le 7$ 时命题不成立，但无法判定向后 $k\ge 8$ 时的真伪，故 C 错误； 对于 D 选项：已知 $f(4)=25$．因为 $25\ge 4^2=16$，所以 $f(4)\ge 4^2$ 必然成立．以此作为数学归纳法的初始奠基点，结合已知的递推步，可以向后无限顺推得到当 $k\ge 4$ 时，均有 $f(k)\ge k^2$ 成立，故 D 正确． 故选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：数学归纳法的条件内涵（奠基与递推），逻辑命题的逆否同真性。

2. 核心方法：数学归纳顺推法，逆否命题逆推法。

3. 避坑指南：容易混淆归纳法的传递方向，误以为不成立性也能向后传递（如C项）；同时需注意D项中虽然给的是等号，但等号是大于等于的一种特殊包含状态，依然能完美触发奠基条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于教材中关于“数学归纳法基本原理”的深层概念辨析题，旨在考查逻辑链条的起点与方向性。
5. 结论推广：在正整数集上的单向递推模型中：

• 成立性（正命题）沿自变量增大的方向传递：$f(n_0)$ 成立 $⟹f(k)$ 成立 ($k\ge n_0$)；

• 不成立性（逆否命题）沿自变量减小的方向传递：$f(n_0)$ 不成立 $⟹f(k)$ 不成立 ($k\le n_0$)．

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷理-12 单-数列单调性