2007-上海卷理-21 解-点轨迹方程

本题导读

本题是一道构思新颖的圆锥曲线新定义组合题。通过将两个不同半椭圆在 $y$ 轴处拼接构造出“果圆”这一新曲线。主要考查基本方程的建立、含参不等式的求解以及平行弦中点轨迹的定性与定量分析。

📌【题干】

Question

（2007年上海卷(理)） 我们把由半椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(x\ge 0)$ 与半椭圆 $\frac{y^2}{b^2}+\frac{x^2}{c^2}=1(x\le 0)$ 合成的曲线称作“果圆”，其中 $a^2=b^2+c^2,a>b>c>0$．如图，设点 $F_0,F_1,F_2$ 是相应椭圆的焦点，$A_1,A_2$ 和 $B_1,B_2$ 分别是“果圆”与 $x,y$ 轴的交点．

(1) 若 $△F_0{F}_1{F}_2$ 是边长为 1 的等边三角形，求“果圆”的方程；

(2) 当 $|A_1{A}_2|>|B_1{B}_2|$ 时，求 $\frac{b}{a}$ 的取值范围；

(3) 连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦．试研究：是否存在实数 $k$，使斜率为 $k$ 的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的 $k$ 值；若不存在，说明理由．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：根据半椭圆方程确定各焦点坐标。利用等边三角形的边长与高确定参数 $b$ 和 $c$，再结合 $a^2=b^2+c^2$ 顺次写出两半部分的标准方程。

2. 第二问：根据截距写出线段长 $|A_1{A}_2|=a+c,|B_1{B}_2|=2b$．利用 $c=\sqrt{a^2-b^2}$ 构建关于 $a,b$ 的不等式，两边同除以 $a$ 转化为关于 $t=\frac{b}{a}$ 的一元不等式组求解。

3. 第三问：分类讨论斜率 $k$．当 $k\ne 0$ 时，分布在左右两侧的局部弦中点轨迹分别为两条不同的直线段，无法合为一个整体椭圆；当 $k=0$ 时，所有水平弦均跨越 $y$ 轴，由中点坐标公式直接配凑出完整的椭圆方程。

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存在唯一的实数 $k=0$ 满足题意

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解：由题意可知，右半椭圆的焦点在 $x$ 轴上，焦点为 $F_0(c,0)$； 左半椭圆的焦点在 $y$ 轴上，焦点为 $F_1(0,-\sqrt{b^2-c^2})$，$F_2(0,\sqrt{b^2-c^2})$． 因为 $△F_0{F}_1{F}_2$ 是边长为 1 的等边三角形， 所以 $|F_1{F}_2|=2\sqrt{b^2-c^2}=1⟹b^2-c^2=\frac{1}{4}$． 球心 $O$ 到 $F_0$ 的距离即为等边三角形的高，故 $c=\frac{\sqrt{3}}{2}⟹c^2=\frac{3}{4}$． 代入上式得 $b^2=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$． 由 $a^2=b^2+c^2$ 得 $a^2=1+\frac{3}{4}=\frac{7}{4}$． 经检验，$a>b>c>0$ 成立． 故所求“果圆”的方程为： $\{\begin{array}{l}\frac{4x^2}{7}+y^2=1(x\ge 0)\\ y^2+\frac{4x^2}{3}=1(x\le 0)\end{array}$

(2) 解：由题意易知 $A_1(-c,0),A_2(a,0),B_1(0,-b),B_2(0,b)$， 所以 $|A_1{A}_2|=a+c$， $|B_1{B}_2|=2b$． 因为 $|A_1{A}_2|>|B_1{B}_2|$，所以 $a+c>2b⟹c>2b-a$． 由于 $a^2=b^2+c^2$，得 $c=\sqrt{a^2-b^2}$，代入得 $\sqrt{a^2-b^2}>2b-a$． 两边同除以 $a>0$，并设 $t=\frac{b}{a}$，则不等式转化为： $\sqrt{1-t^2}>2t-1$ 由于 $a>b>c>0$，可得 $\{\begin{array}{l}0<t<1\\ b>\sqrt{a^2-b^2}⟹2b^2>a^2⟹t>\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$． 下面解关于 $t$ 的不等式 $\sqrt{1-t^2}>2t-1$： ① 当 $\frac{\sqrt{2}}{2}<t\le \frac{1}{2}$ 时（此区间为空集，因 $\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.707>0.5$）； ② 当 $\frac{\sqrt{2}}{2}<t<1$ 时，两边平方得： $1-t^2>4t^2-4t+1⟹5t^2-4t<0⟹0<t<\frac{4}{5}$． 综合两方面约束，可得 $\frac{\sqrt{2}}{2}<t<\frac{4}{5}$． 故 $\frac{b}{a}$ 的取值范围是 $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{4}{5}\right)$．

(3) 解：存在满足条件的实数，且唯一的 $k$ 值为 0．理由如下： ① 当 $k\ne 0$ 时，设想一组完全落在右半平面 $x\ge 0$ 内的平行弦，根据椭圆性质，其中点轨迹必然是一条斜率不为 0 的直线段（属于直线 $y=-\frac{b^2}{a^{2}k}x$ 的一部分）；同理，完全落在左半平面 $x\le 0$ 内的平行弦中点轨迹是另一条斜率不同的直线段（属于直线 $y=-\frac{b^2}{c^{2}k}x$ 的一部分）．由于这两条不同的线段无法拼接成一个完整的椭圆，故 $k\ne 0$ 不满足题意． ② 当 $k=0$ 时，斜率为 0 的平行弦即为一组水平线段． 由于“果圆”关于 $y$ 轴的左右边界跨度分别为 $-c$ 到 $a$，任何一条水平弦均必然跨越 $y$ 轴． 设任意一条平行弦所在的直线方程为 $y=m(-b<m<b)$． 该直线与左半椭圆的交点为 $P_1(x_1,m)$，与右半椭圆的交点为 $P_2(x_2,m)$． 由方程可得： $x_1=-c\sqrt{1-\frac{m^2}{b^2}}$， $x_2=a\sqrt{1-\frac{m^2}{b^2}}$． 设弦 $P_1{P}_2$ 的中点为 $M(x,y)$，则： $y=m$ $x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{a-c}{2}\sqrt{1-\frac{m^2}{b^2}}=\frac{a-c}{2}\sqrt{1-\frac{y^2}{b^2}}$ 因为 $a>c$，所以 $a-c>0$，对上式两边平分并整理得： $\frac{4x^2}{(a-c{)}^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(x\ge 0,y\in (-b,b)\right)$ 此方程对应的轨迹曲线完整地落在椭圆 $\frac{4x^2}{(a-c{)}^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上． 综上所述，存在唯一的实数 $k=0$ 满足题意．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：新定义曲线基本量方程构建，双层约束分式不等式转化求解，点弦中点轨迹方程。

2. 核心方法：齐次项同除法（转一元自变量），水平动直线两端点坐标参数化。

3. 避坑指南：(2)问求范围时极易漏掉 $b>c$ 这一隐藏几何约束，必须补充 $t>\frac{\sqrt{2}}{2}$ 这一左边界；(3)问在探究 $k$ 值时，需敏锐注意到左右两侧的物理结构不对称，从而利用分类讨论将普通斜率排除，锁定 $k=0$ 的唯一解。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题为 2007 年经典的高考解析几何压轴题。通过对传统椭圆方程进行“左窄右宽”的非对称拼接，极大地考查了数形结合、分类讨论以及代数方程组综合变形的高阶综合素质。

5. 结论推广：对于由 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(x\ge 0)$ 与 $\frac{x^2}{c^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(x\le 0)$ 拼接而成的双侧组合型重合曲率曲线，其所有水平弦（斜率为 0）的中点轨迹恒为半个中心对称的新椭圆，方程通式为 $\frac{4x^2}{(a-c{)}^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$．

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.08 一般曲线与方程
• 18.01 椭圆专题全总结
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2019-全国卷I理-20 解-导数综合