2007-北京卷文-03 单-三角函数周期

本题导读

本题考查两角和与差公式，以及三角函数的最小正周期。

📌【题干】

Question

（2007年北京卷(文)） 函数 $f(x)=\sin 2x-\cos 2x$ 的最小正周期是 ()

A. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　　B. $\pi$　　　　　　　　C. $2\pi$　　　　　　　　D. $4\pi$

🔍【思路分析】

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1. 辅助角公式：$a\sin t-b\cos t=\sqrt{a^2+b^2}\sin (t-\phi )$。
2. 化为 $A\sin (\omega x+\phi )$ 后 $T=\frac{2\pi }{\omega }$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由辅助角公式 $f(x)=\sin 2x-\cos 2x=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos 2x\right)=\sqrt{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right).$ 这里 $\omega =2$，所以最小正周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{2}=\pi ,$ 选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数周期

核心方法：辅助角公式合一，周期公式

避坑指南：sin2x−cos2x 的 ω=2，T=π；别把 2x 当 x 忘记除

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：辅助角公式 a\sin t−b\cos t=\sqrt{a²+b²}\sin(t−\varphi)

结论推广：A\sin(\omega x+\varphi) 的周期 2\pi/\omega

方法推广：先化标准形再读周期，是三角化简的通用套路

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练(Links)

• 2008-江苏卷-01 填-三角函数周期
• 2008-浙江卷文-02 单-三角化简求周期