2007-北京卷文-08 单-函数性质命题筛选

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2007年北京卷(文)） 对于函数①$f(x)=|x+2|$；②$f(x)=(x-2{)}^2$；③$f(x)=\cos (x-2)$．判断如下两个命题的真假： 命题甲：$f(x+2)$ 是偶函数； 命题乙：$f(x)$ 在 $(-\infty ,2)$ 上是减函数，在 $(2,+\infty )$ 上是增函数． 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是 ()

A. ①②　　　　　　　B. ①③　　　　　　　C. ②　　　　　　　D. ③

🔍【思路分析】

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1. ①：$f(x+2)=|x+4|$，不是偶函数，甲假，淘汰 A、B。
2. ②：$f(x+2)=x^2$ 偶；$f(x)=(x-2{)}^2$ 以 $x=2$ 为对称轴先减后增，乙真。
3. ③：$f(x+2)=\cos x$ 偶；但 $f(x)=\cos (x-2)$ 只在 $(2-\pi ,2)$ 内递减，乙假。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

① $f(x)=|x+2|$，则 $f(x+2)=|x+4|$，$f(-x+2)\ne f(x+2)$，不是偶函数，命题甲为假，排除 A、B． ② $f(x)=(x-2{)}^2$，则 $f(x+2)=x^2$ 是偶函数，甲真；又 $f(x)$ 的图象是开口向上、对称轴 $x=2$ 的抛物线，在 $(-\infty ,2)$ 上递减、在 $(2,+\infty )$ 上递增，乙真．②满足． ③ $f(x)=\cos (x-2)$，则 $f(x+2)=\cos x$ 是偶函数，甲真；但 $f(x)=\cos (x-2)$ 的单调递减区间是 $[2k\pi +2,2k\pi +2+\pi ]$，在整个 $(-\infty ,2)$ 上并不单调递减（如 $x<2-\pi$ 时递增），乙为假．③不满足． 综上只有②，选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数性质命题筛选

核心方法：逐个函数检验两命题

避坑指南：cos(x−2) 只在局部区间单调，勿默认在 (−∞,2) 全程递减

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：奇偶性与单调性综合

结论推广：f(x+2) 的奇偶看 f 关于 x=2 的对称性

方法推广：序号筛选题先找”假命题”快速淘汰

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练(Links)

• 2009-新课标卷文-04 单-三角命题真假
• 2008-山东卷文-04 单-四种命题真假个数