2007-北京卷理-01 单-同角三角函数基本关系式

本题导读

本题考查三角函数在各个象限内的正负号分布特征。核心在于利用切弦转换公式将不等式简化，或直接对各象限内 $\cos \theta$ 与 $\tan \theta$ 的正负号进行穷举匹配。

📌【题干】

Question

（2007年北京卷(理)） 已知 $\cos \theta \cdot \tan \theta <0$，那么角 $\theta$ 是()

A. 第一或第二象限角　　　　　　　　　　　B. 第二或第三象限角

C. 第三或第四象限角　　　　　　　　　　　D. 第一或第四象限角

🔍【思路分析】

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1. 利用定义弦化切代换：根据同角三角函数关系， $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$。

2. 符号化简消元：代入已知不等式得 $\cos \theta \cdot \frac{\sin \theta }{\cos \theta }<0⟹\sin \theta <0$ （隐含条件 $\cos \theta \ne 0$）。

3. 定位象限范围：寻找正弦值 $\sin \theta$ 为负数的象限。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：根据同角三角函数的基本关系式， 正切函数可以展开为： $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }(\cos \theta \ne 0)$

将此关系式代入题目给定的不等式 $\cos \theta \cdot \tan \theta <0$ 中： $\cos \theta \cdot \frac{\sin \theta }{\cos \theta }<0$ 在有意义的前提下， 约去公因式 $\cos \theta$， 不等式直接简化为： $\sin \theta <0$

根据平面直角坐标系中三角函数值的符号分布规律：

• 当角 $\theta$ 的终边落在第一、二象限时， 纵坐标为正， 此时 $\sin \theta >0$；
• 当角 $\theta$ 的终边落在第三、四象限时， 纵坐标为负， 此时 $\sin \theta <0$。

因此， 满足 $\sin \theta <0$ 的角 $\theta$ 必然是第三或第四象限角。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：各象限三角函数正负号（一全正、二正弦、三正切、四余弦）、切弦公式的代数化简。
2. 核心方法：代数化简法。
3. 避坑指南：

• 本题直接根据象限穷举符号也极快：要使乘积为负，必一正一负。 若 $\cos \theta >0$ 且 $\tan \theta <0⟹\theta$ 为第四象限角； 若 $\cos \theta <0$ 且 $\tan \theta >0⟹\theta$ 为第三象限角。 综合得到三、四象限，切忌数错象限符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源自高中数学必修四三角函数任意角定义的初级考查，属于考卷的送分题。

2. 结论推广: 类似地， 若给出 $\sin \theta \cdot \tan \theta >0$， 弦化切后可得 $\frac{{\sin }^2\theta }{\cos \theta }>0⟹\cos \theta >0$， 对应第一、四象限。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.01 两角和与差及辅助角公式