2007-北京卷理-02 单-反函数定义域值域映射关系

本题导读

本题考查指数函数的性质以及反函数的定义域特征。核心在于深刻理解原函数与反函数之间的刚性映射对调规则：原函数的值域就是其反函数的定义域。

📌【题干】

Question

（2007年北京卷(理)） 函数 $f(x)=3^x(0<x\le 2)$ 的反函数的定义域为()

A. $(0,+\infty )$　　　B. $(1,9]$　　　C. $(0,1)$　　　D. $[9,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转换核心逻辑：求反函数的定义域， 并不需要真正去解出反函数的具体解析式。根据反函数的数学底线定义， 原函数 $f(x)$ 的值域就是其反函数 $f^{-1}(x)$ 的定义域。

2. 求解原函数值域：因为底数 $3>1$， 指数函数 $y=3^x$ 在定义域上单调递增。结合自变量限制 $0<x\le 2$， 直接计算端点处的函数值即可锁定值域区间。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：根据反函数的定义特征， 函数 $y=f(x)$ 的值域与它的反函数 $y=f^{-1}(x)$ 的定义域完全相同。 因此， 本题求解反函数的定义域完全等价于求解原函数 $f(x)=3^x$ 当 $0<x\le 2$ 时的值域。

因为底数 $3>1$， 根据指数函数的图象与性质， 函数 $y=3^x$ 在实数集 $\mathbf{R}$ 上是一个严格的单调递增函数。 已知自变量的取值范围为 $0<x\le 2$， 利用单调递增性， 分别代入区间的开闭端点计算其函数值的下确界与上确界：

• 当 $x\to 0$ 时， $3^x\to 3^0=1$， 故下界为 1（开边界）；
• 当 $x=2$ 时， $3^x=3^2=9$， 故上界为 9（闭边界）。

因此， 原函数 $f(x)$ 的值域区间为： $y\in (1,9]$

按照映射对调原则， 该值域即为反函数的定义域。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：原函数值域与反函数定义域的互通性、底数大于1的指数函数单调增区间控制。
2. 核心方法：值域映射法（此法速度最快，可避免因反解对数函数而产生多余的代数运算）。
3. 避坑指南：

• 如果选择硬解反函数：由 $y=3^x⟹x={\log }_{3}y$， 其反函数为 $f^{-1}(x)={\log }_{3}x$。此时一定要把原函数的自变量范围 $0<x\le 2$ 代入反函数的 $y$ 轴（即满足 $0<{\log }_{3}x\le 2⟹3^0<x\le 3^2⟹1<x\le 9$）。注意开闭区间的圆括号与方括号的对应，防止错选。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源自高中数学基本初等函数中指数函数与对数函数互为反函数的基础映射性质。

2. 结论推广: 针对任何形如 $f(x)=a^x$ 在区间 $(m,n]$ 上的反函数定义域问题， 当 $a>1$ 时， 其反函数定义域通解模型一律固定为 $(a^m,a^n]$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 06.01 幂指对函数图象与性质