2007-北京卷理-03 单-异面直线性质

本题导读

本题考查空间中平面平行的判定条件。核心在于通过对四个选项中的线面平行、线线平行以及异面关系进行基于立体几何公理的严格逻辑推导，找出能够绝对锁死两平面平行的那组充分条件。

📌【题干】

Question

（2007年北京卷(理)） 平面 $\alpha \parallel$ 平面 $\beta$ 的一个充分条件是()

A. 存在一条直线 $a,a\parallel \alpha ,a\parallel \beta$

B. 存在一条直线 $a,a\subset \alpha ,a\parallel \beta$

C. 存在两条平行直线 $a,b,a\subset \alpha ,b\subset \beta ,a\parallel \beta ,b\parallel \alpha$

D. 存在两条异面直线 $a,b,a\subset \alpha ,b\subset \beta ,a\parallel \beta ,b\parallel \alpha$

🔍【思路分析】

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1. 辨析“充分条件”：寻找一个条件， 使得“若该条件成立， 则必有 $\alpha \parallel \beta$”。
2. 回忆面面平行的判定定理核心底线：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面， 则这两个平面平行。因此， 核心在于选项里给出的两条直线必须能够提供两个相交（不平行） 的独立空间方向向量。
3. 逐项排除分析：

• A, B 项只涉及一条直线，两平面可以相交（如同一本打开的书的两个面平行于同一根书脊线）。

• C 项给出的两条直线互相平行，方向向量重合， 无法锁死平面的转动， 两平面依然可以绕着这组方向相交。

• D 项给出两条异面直线，异面直线在空间中绝对不平行。通过线面平行的性质进行空间平移， 可以转化为相交直线的等价结构，从而触发判定定理。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解：我们根据平面平行的判定定理及空间反例法， 逐一对四个选项进行严密审查：

• 审查 A 项： 若存在一条直线 $a$ 满足 $a\parallel \alpha$ 且 $a\parallel \beta$。 我们可以想象一本半打开的几何书， 书的脊梁骨就是直线 $a$， 书的两个内页分别代表平面 $\alpha$ 和 $\beta$。 显然， 两个平面均平行于这条脊线 $a$， 但这两个平面此时是相交的。 因此， 无法推导出 $\alpha \parallel \beta$， 充分性不成立，排除；

• 审查 B 项： 若存在一条直线 $a$ 满足 $a\subset \alpha$ 且 $a\parallel \beta$。 同理， 我们可以让平面 $\alpha$ 绕着其中的直线 $a$ 进行空间旋转。在旋转过程中， 除了平面 $\alpha \parallel \beta$ 这一瞬时位置外， 其余绝大多数位置两平面都是相交的， 且相交时直线 $a$ 依旧平行于平面 $\beta$。 因此， 充分性不成立，排除；

• 审查 C 项： 若存在两条平行直线 $a\parallel b$， 且 $a\subset \alpha ,b\subset \beta$。 由于 $a\parallel b$， 这两条直线在空间中只提供了一个唯一的方向向量。 这两个平面可以以 $a$ 和 $b$ 所在的平行线方向为轴发生转动并发生空间相交（相交的交线平行于 $a$ 和 $b$）。 因此， 平行线无法锁死两平面的平行姿态， 充分性不成立，排除；

• 审查 D 项： 若存在两条异面直线 $a,b$， 满足 $a\subset \alpha ,b\subset \beta$， 且 $a\parallel \beta ,b\parallel \alpha$。 根据线面平行的性质定理， 因为直线 $b\parallel \alpha$ 且 $b\subset \beta$， 我们可以在平面 $\alpha$ 内平移构造出一条直线 $b^{\prime }$ 使得 $b^{\prime }\parallel b$。 此时在平面 $\alpha$ 内， 我们同时拥有了直线 $a$ 和新直线 $b^{\prime }$。 因为原本 $a$ 与 $b$ 是异面直线， 空间上它们绝不平行。既然 $b^{\prime }\parallel b$， 则 $b^{\prime }$ 与 $a$ 在平面 $\alpha$ 内必定相交。 又因为已知 $a\parallel \beta$， 且由于 $b^{\prime }\parallel b\subset \beta ⟹b^{\prime }\parallel \beta$。 这就意味着， 在平面 $\alpha$ 内， 存在着两条相交直线 $a$ 和 $b^{\prime }$ 分别平行于平面 $\beta$。 根据空间平面平行的判定定理， 刚性可以推导出： $\alpha \parallel \beta$。 充分性完全成立。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：面面平行判定定理中“相交直线”的数理本质、异面直线不平行特征的空间平移转化。
2. 核心方法：空间定理推导法、空间几何模型反例法（书本页面模型、平行轴相交模型）。
3. 避坑指南：

• 很多考生容易误选 C 项。务必深刻牢记空间几何中，“平行”关系是具有方向简并性的，两条平行线无法撑开一个确定的二维空间截面，只有“相交”或“异面”才能提供两个独立基底方向。抓住了独立方向这一底线，就能在考场上瞬间排除 C 选出 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是考查高中数学立体几何空间位置判定定理的经典创新题，将传统的“相交”前提隐蔽地换成了“异面”，考查对定理精髓的理解。

2. 结论推广: 空间中两个平面平行的充要条件， 转化为线面关系时， 可以完美表述为： “其中一个平面内存在两条不平行（相交或异面） 的直线分别平行于另一个平面”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定
• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 02.01 常用逻辑用语