2007-北京卷理-07 单-不等式综合大小比较

本题导读

本题考查基本不等式的应用。核心在于分别利用 $a+b=4$ 和 $cd=4$ 对 $ab$ 的最大值与 $c+d$ 的最小值进行独立双向边界锁定，从而比较 $ab$ 与 $c+d$ 的大小关系。

📌【题干】

Question

（2007年北京卷(理)） 如果正数 $a,b,c,d$ 满足 $a+b=cd=4$，那么()

A. $ab\le c+d$，且等号成立时 $a,b,c,d$ 的取值唯一

B. $ab\ge c+d$，且等号成立时 $a,b,c,d$ 的取值唯一

C. $ab\le c+d$，且等号成立时 $a,b,c,d$ 的取值不唯一

D. $ab\ge c+d$，且等号成立时 $a,b,c,d$ 的取值不唯一

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对 $a,b$ 分支求上限：已知 $a,b$ 是正数且 $a+b=4$，由基本不等式 $ab\le {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2$，可求得 $ab$ 的最大边界值。

2. 对 $c,d$ 分支求下限：已知 $c,d$ 是正数且 $cd=4$，由基本不等式 $c+d\ge 2\sqrt{cd}$保存下限，可求得 $c+d$ 的最小边界值。

3. 夹逼比对并分析等号：比对 $ab$ 的最大值与 $c+d$ 的最小值，确定整体大小不等号。再分别令两个基本不等式的等号同时成立，求解此时 $a,b,c,d$ 的解是否唯一。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

解：因为 $a,b$ 均为正数， 且满足 $a+b=4$， 根据基本不等式， 两数乘积小于或等于其和的一半的平方： $ab\le {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2={\left(\frac{4}{2}\right)}^2=4$ 当且仅当 $a=b=2$ 时， 上式等号成立。即 $ab$ 的最大值为 4。

又因为 $c,d$ 均为正数， 且满足 $cd=4$， 根据基本不等式， 两数之和大于或等于其乘积根式的两倍： $c+d\ge 2\sqrt{cd}=2\sqrt{4}=4$ 当且仅当 $c=d=2$ 时， 上式等号成立。即 $c+d$ 的最小值为 4。

综合上述两个独立边界的放缩结果： $ab\le 4\text{且}4\le c+d$ 根据不等式的传递性， 刚性可得： $ab\le c+d$

下面分析整个式子 $ab=c+d$ 等号成立的条件： 要使得 $ab=c+d$ 成立， 必须让前面的两个基本不等式同时触发等号成立的前提底线。 即必须同时满足： $\{\begin{array}{l}a=b\\ c=d\end{array}$ 结合已知条件 $a+b=4$ 且 $cd=4$， 联立求解： $\{\begin{array}{l}a=b=2\\ c=d=2\end{array}$ 此时， 实数四元组的解有且仅有一组： $(a,b,c,d)=(2,2,2,2)$。 因此， 等号成立时 $a,b,c,d$ 的取值是唯一的。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：基本不等式（算术平均数大于等于几何平均数）的变形、不等式等号成立的“当且仅当”刚性制约条件。
2. 核心方法：两端独立最值夹逼法。
3. 避坑指南：

• 很多同学能轻松推出 $ab\le 4\le c+d$，但在判定“取值是否唯一”时容易犹豫。牢记只要不等式链的各级等号成立条件互不冲突、能联立出唯一确定解，取值就是唯一的。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源自高中数学必修五不等式章节中均值不等式的标准常考应用变形。

2. 结论推广: 若正数满足 $a_1+a_2+\cdots +a_n=b_1{b}_2\dots b_n=n^2$， 则依据 $n$ 元基本不等式， 恒有 $\prod a_i\le \frac{\sum b_i}{n^{n-2}}$，且等号成立时所有元均唯一全等于 $n$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式
• 03.01 不等式解法体系