2007-北京卷理-14 填-复合函数不等式求解

本题导读

本题考查由表格给出的离散型函数的复合运算。第一空属于直接的逐层代入求值；第二空属于离散变量下的复合不等式求解，需要通过对有限的自变量 $x\in \{1,2,3\}$ 进行全盘穷举比对，锁定符合不等式的解。

📌【题干】

Question

（2007年北京卷(理)） 已知函数 $f(x),g(x)$ 分别由下表给出

$x$	1	2	3
$f(x)$	1	3	1

$x$	1	2	3
$g(x)$	3	2	1

则 $f[g(1)]$ 的值为________；满足 $f[g(x)]>g[f(x)]$ 的 $x$ 的值是________。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一空（逐层求值）：

• 按照从内到外的逻辑：先查表格求出内层 $g(1)$ 的值。
• 将该计算结果作为新自变量， 再次查表求外层 $f$ 的对应值。

2. 第二空（解离散不等式）：

• 因为自变量 $x$ 的可能取值总共只有 3 个（1, 2, 3）。

• 采用最严密、绝对不漏项的分类穷举法：分别把 $x=1,x=2,x=3$ 依次代入不等式的左、右两端， 查表算出各自的具体数值。

• 比较两边大小， 挑选出让左边严格大于右边的那个自变量数字。

✅【答案】

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1 ； 2

✍【详细解析】

Abstract

解：第一步：求解第一空 $f[g(1)]$ 的值 根据逐层内推法， 首先查 $g(x)$ 的表格： 当 $x=1$ 时， 对应的函数值为 $g(1)=3$。 将内层结果 3 代入外层函数中， 转化为求解 $f(3)$。 查 $f(x)$ 的表格： 当 $x=3$ 时， 对应的函数值为 $f(3)=1$。 所以： $f[g(1)]=1$

第二步：求解第二空， 寻找满足 $f[g(x)]>g[f(x)]$ 的 $x$ 值 因为自变量 $x$ 的全集仅为 $\{1,2,3\}$， 我们对所有可能项进行挨个穷举计算与比对：

• 当 $x=1$ 时：

• 左边： $f[g(1)]=f(3)=1$（由第一空已求得）；

• 右边： 先查内层 $f(1)=1$， 则右边变为 $g[f(1)]=g(1)=3$。

• 比对： 左边 $1$ ，右边 $3$。 因为 $1>3$ 不成立， 故 $x=1$ 不符合题意；

• 当 $x=2$ 时：

• 左边： 先查内层 $g(2)=2$， 则左边变为 $f[g(2)]=f(2)=3$；

• 右边： 先查内层 $f(2)=3$， 则右边变为 $g[f(2)]=g(3)=1$；

• 比对： 左边 $3$ ，右边 $1$。 因为 $3>1$ 严格成立， 故 $x=2$ 符合题意；

• 当 $x=3$ 时：

• 左边： 先查内层 $g(3)=1$， 则左边变为 $f[g(3)]=f(1)=1$；
• 右边： 先查内层 $f(3)=1$， 则右边变为 $g[f(3)]=g(1)=3$；
• 比对： 左边 $1$ ，右边 $3$。 因为 $1>3$ 不成立， 故 $x=3$ 不符合题意。

综上穷举排查， 满足复合不等式的自变量 $x$ 的值有且只有 2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：表格映射函数的读取规则、复合函数由内向外的代数运算序。
2. 核心方法：逐层内推法、全域元素穷举比对法。
3. 避坑指南：

• 查表时必须看清函数的字母代号，不要把 $f(x)$ 的表格和 $g(x)$ 的表格看反。

• 算右侧 $g[f(x)]$ 时，要先查左表 $f$ 再查右表 $g$，细心对应，防止忙中出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源自高中数学必修一函数表示方法（列表法）与复合函数概念的基础应用题。

2. 结论推广: 针对任何定义在有限离散集 $X$ 上的复合方程或不等式求解， 全项列举穷举法永远是最安全、逻辑最严密、考场得分率最高的核心解题方案。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 03.01 不等式解法体系