2007-北京卷理-15 解-等差数列前n项公式

本题导读

本题考查等比中项的代数应用及一阶非齐次递推数列通项公式的求解。第一问通过前三项的递推表示，利用等比中项性质列方程求出常数 $c$ ；第二问利用累加法直接导出通项公式。

📌【题干】

Question

（2007年北京卷(理)）数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2, a_{n + 1} = a_{n} + c n$ （ $c$ 是常数， $n = 1, 2, 3, \dots$ ），且 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 成公比不为 1 的等比数列。

(1) 求 $c$ 的值；

(2) 求 ${a_{n}}$ 的通项公式。

🔍【思路分析】

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第一问：

依据递推式 $a_{n + 1} = a_{n} + c n$ ，分别代入 $n = 1$ 和 $n = 2$ ，将 $a_{2}$ 和 $a_{3}$ 用首项 $a_{1} = 2$ 及常数 $c$ 表示出来。

得到 $a_{2} = 2 + c$ ， $a_{3} = a_{2} + 2 c = 2 + 3 c$ 。

利用 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 成等比数列，根据等比中项定理建立方程 $a_{2}^{2} = a_{1} \cdot a_{3}$ ，解出 $c$ 的值，需注意排除公比为 1 的无效根。

第二问：

将第一问求得的 $c$ 值代入原递推式中，得到标准的一阶累加型递推结构： $a_{n + 1} - a_{n} = c n$ 。

采用累加法，将 $n$ 从 1 到 $n - 1$ 的所有递推等式进行纵向累加，借助等差数列求和公式求得通项公式。

✅【答案】

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$（ 1 ） c = 2. （ 2 ） an = n 2 - n + 2.$

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）因为递推关系为 $a_{n + 1} = a_{n} + c n$ ，且已知 $a_{1} = 2$ 。令 $n = 1$ ，代入得： $a_{2} = a_{1} + c \times 1 = 2 + c$ 令 $n = 2$ ，代入得： $a_{3} = a_{2} + c \times 2 = (2 + c) + 2 c = 2 + 3 c$

因为 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 成等比数列，根据等比中项性质，恒满足： $a_{2}^{2} = a_{1} \cdot a_{3}$ 将各基底代数式代入上式中： $(2 + c)^{2} = 2 \times (2 + 3 c)$ 展开多项式进行整式化简： $4 + 4 c + c^{2} = 4 + 6 c$ 移项并合并同类项： $c^{2} - 2 c = 0 ⟹ c (c - 2) = 0$ 解得： $c = 0 或 c = 2$

若 $c = 0$ ，则 $a_{1} = 2, a_{2} = 2, a_{3} = 2$ ，此时该数列的公比为 1，与题干中“公比不为 1”的约束条件相违背，故舍去；

若 $c = 2$ ，则 $a_{1} = 2, a_{2} = 4, a_{3} = 8$ ，公比为 2，完美符合题意。

所以，实数 $c$ 的值为 2。

（2）将 $c = 2$ 代入原递推式中，得到数列的确定递推式为： $a_{n + 1} - a_{n} = 2 n$

当 $n \geq 2$ 时，运用累加法进行级联展开： $a_{n} = a_{1} + (a_{2} - a_{1}) + (a_{3} - a_{2}) + \dots + (a_{n} - a_{n - 1})$ $a_{n} = a_{1} + \sum_{i = 1}^{n - 1} 2 i = 2 + 2 \times [1 + 2 + 3 + \dots + (n - 1)]$

根据等差数列求和公式，中括号内的自然数求和为 $\frac{( n - 1 ) n}{2}$ ： $a_{n} = 2 + 2 \times \frac{n ( n - 1 )}{2} = 2 + n (n - 1) = n^{2} - x_{n} + 2 ⟹ a_{n} = n^{2} - n + 2$

验证首项：当 $n = 1$ 时， $a_{1} = 1^{2} - 1 + 2 = 2$ ，与已知条件 $a_{1} = 2$ 完全吻合。

所以，数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为： $a_{n} = n^{2} - n + 2 (n \in N^{*})$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比中项性质的列方程化、舍选不合题意隐含根的逻辑控制、形如 $a_{n + 1} - a_{n} = f (n)$ 累加法模型的标准套用。

核心方法：等比中项方程法、累加法。

避坑指南：

第一问解出 $c = 0$ 时必须刚性进行二次核校与排除。高考题目中给出的“公比不为1”、“各项互异”等制约属于绝对不能漏看的刚性红线。

第二问使用累加法求和时，注意项数是从 1 加到 $n - 1$ ，总共只有 $n - 1$ 项。切勿习惯性写成加到 $n$ 项。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查数列两种基本模型（等比、等差）交叉交汇的基础大题，难度适中，属于高考解答题前三道题的送分基础题。

结论推广: 针对任意形如 $a_{n + 1} = a_{n} + k \cdot n$ 且 $a_{1}$ 已知的非齐次一阶递推数列，其通项通解模型公式一律固定收敛为： $a_{n} = a_{1} + \frac{k}{2} n (n - 1)$ 。

🔗【关联脉络】

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19.02 等比数列全总结

19.07 一般数列的性质

19.01 等差数列全总结

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